اسئلة واجوبة الامتحان النهائي للمرحلة الثانية - قسم الفيزياء

وزارة التعليم العالي والبحث العلمي أسئلة الاختبار النهائي المرحلة : الثانية
جامعة بابل للعام الدراسي 2013 – 2014 المادة : الرياضيات
كلية العلوم الدور الاول الزمن : 3 ساعة
قسم الفيزياء (الإجابة عن جميع الأسئلة لكل سؤال 20 درجة ) التاريخ : 7/6/2014
س1/ (a) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية .xy +(1+x)y=e^(-x)
(b) باستعمال دالة بيتا ، احسب قيمة التكامل
س2/(a) باستعمال طريقة فروبنيوس ، جد حل المعادلة التفاضلية .x^2 y^ +xy^ -9y=0
(b) في دائرة التوالي RL اذا علمت ان E=20v و L=10mH ,R=10 ? جد شدة التيار عند اي لحظة .
س3/ (a) جد حل المعادلة التفاضلية .y^ +y=4sin??x ?
(b) علقت كتلة 10 kg في نابض حلزوني ثابت تناسبه k=120 N/m . بدأت الكتلة بالحركة من موضع الاتزان
بسرعة ابتدائية مقدارها 1 m/sec? في الاتجاه الرأسي الى الاعلى وبقوة مؤثرة خارجية 20 sin?t .
جد موضع الكتلة في أي لحظة اذا كان ثابت مقاومة الهواء a=70 N.sec/m .
س4/ (a)حل المعادلة التفاضلية y^ +y=x باستعمال تحويل لابلاس بالشروط .y^ (0)=2 , y(0)=1
(b) وضع جسم درجة حرارته 50? في مختبر درجة حرارته ثابتة وتساوي 100? ، بعد 5 min اصبحت درجة
حرارة الجسم 60? ما الزمن اللازم لتصل درجة حرارة الجسم الى 75? .
س5/ (a) باستعمال المتسلسلات جد حل المعادلة التفاضلية x^2 y^ +y^ +x^2 y=0 .
(b) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية


رئيس القسم مدرس المادة
م.م فؤاد حمزة عبد
دعائي لكم بالتوفيق والنجاح




الاجوبة النموذجية
س1/ (a) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية .xy +(1+x)y=e^(-x)
y +((1+x))/x y=e^(-x)/x
واضح ان المعادلة التفاضلية خطية وان
P(x)=((1+x))/x=1+( 1 )/x , Q(x)=e^(-x)/x
I.F=e^(??P(x) dx)=e^??(1+( 1 )/x)dx=e^(x+ln?x )=xe^x
(I.F) y=??(I.F) Q(x)dx+c
xe^x y=???xe^x ? e^(-x)/x dx+c
xe^x y=? dx+c
xe^x y=x+c
?( y=e^(-x)+( c e^(-x))/x)

(b) باستعمال دالة بيتا ، احسب قيمة التكامل
?_0^(??2)??sin^(2m-1)?? cos^(2n-1)?? d??=( 1 )/2 B(m,n)
2m-1=9 ? m=5
2n-1=5 ? n=3
?_0^( ??2)??sin^9?? cos^5?? d?? =( 1 )/2 B(5,3)=?(5)?(3)/2?(5+3)
=(4!×2!)/(2×7!)=1/(7×6×5)=?(1/210)



س2/(a) باستعمال طريقة فروبنيوس ، جد حل المعادلة التفاضلية .x^2 y^ +xy^ -9y=0
نفرض أن :
y=a_0 x^c+a_1 x^(c+1)+a_2 x^(c+2)+?
y^ =c a_0 x^(c-1)+(c+1) a_1 x^c+(c+2) a_2 x^(c+1)+?
y^ =c (c-1) a_0 x^(c-2)+c(c+1) a_1 x^(c-1)+(c+1)(c+2) a_2 x^c+?
x^2 y^ =c (c-1) a_0 x^c+c(c+1) a_1 x^(c+1) +(c+1)(c+2) a_2 x^(c+2)+?
xy^ =ca_0 x^c +(c+1) a_1 x^(c+1)+(c+2) a_2 x^(c+2) +?
-9y=-9a_0 x^c -9a_1 x^(c+1) -9a_2 x^(c+2) +?
وبمساواة معاملات x المختلفة القوى بالصفر
c (c-1) a_0+c a_0-9a_0=0 ; a_0?0
? c?^2-c+c-9=0 ? c^2-9=0
(c+3)(c-3)=0 ? c=-3 ,3
a_1=a_2=?=0
عندما c=-3 فان y=a_0 x^(-3)=Ax^(-3)
عندما c=3 فان y=a_0 x^3=Bx^3
?(?(_^) y=Ax^(-3)+ Bx^3 ?_^ )

(b) في دائرة التوالي RL اذا علمت ان E=20v و L=10mH ,R=10 ? جد شدة التيار عند اي لحظة
بتطبيق قانون كيرشوف للجهد على الدائرة نحصل على
L di/dt+Ri=E ? 10 di/dt+10i=20 ? di/dt+i=2
وهي معادلة تفاضلية يمكن فصل متغيراتها لتصبح :
di/(2-i)=dt ? -ln?|2-i|=t+c
لاحظ انه عندما t=0 فان i=0 وعليه فان c=?-ln???2 ? لذا
ln?|2-i|=(ln?2 )-t ? 2- i=2e^(-t)
أو ?((_^)?i=2?-2e?^(-t)?_^ ) وهي شدة التيار عند اي لحظة .



س3/ (a) جد حل المعادلة التفاضلية .y^ +y=4sin??x ?
m^2+1=0 ? m=±i
y_h=c_1 sin?x+c_2 cos?x
k=?=1
y_p=Ax sin?x+Bx cos?x
y_p^ =Ax cos?x+A sin?x-Bx sin?x+B cos?x
y_p^ =-Ax sin?x+A cos?x+A cos?x-Bx cos?x-B sin?x-B sin?x
=-Ax sin?x+2A cos?x-Bx cos?x-2B sin?x
-Ax sin?x+2A cos?x-Bx cos?x-2B sin?x+Ax sin?x+Bx cos?x=4sin??x ?
2A cos?x-2B sin?x=4sin??x ?
A=0
-2B=4 ? B=-2
y_p=-2x cos?x
?((_^)??y=y_h+ y_p=c_1 sin?x+c_2 cos?x-2x cos?x?_^ ?_^ )






(b) علقت كتلة 10 kg في نابض حلزوني ثابت تناسبه k=120 N/m . بدأت الكتلة بالحركة من موضع الاتزان بسرعة ابتدائية مقدارها 1 m/sec? في الاتجاه الرأسي الى الاعلى وبقوة مؤثرة خارجية 20 sin?t . جد موضع الكتلة في أي لحظة اذا كان ثابت مقاومة الهواء a=70 N.sec/m .
(d^2 x)/(dt^2 )+a/M dx/dt+k/M x=F(t)/M ? (d^2 x)/(dt^2 )+70/10 dx/dt+120/10 x=(20 sin?t)/10
(d^2 x)/(dt^2 )+7 dx/dt+12x=2 sin?t
m^2+7m+12=0 ? (m+3)(m+4)=0 ? m=-3 ,-4
x_h=c_1 e^(-3t)+c_2 e^(-4t)
الآن : x_p=A sin?t+B cos?t
x_p^ =A cos?t-B sin?t and x_p^ =-A sin?t-B cos?t
-A sin?t-B cos?t+7A cos?t-7B sin?t+12A sin?t+12B cos?t=2 sin?t
(-A-7B+12A) sin?t+(-B+7A+12B) cos?t=2 sin?t
11A-7B=2 and 11B+7A=0 ? A= 11/85 , B=(-7)/85
? x_p=11/85 sin?t-7/85 cos?t
x=c_1 e^(-3t)+c_2 e^(-4t)+11/85 sin?t-7/85 cos?t
لدينا الشرط الابتدائي الاول x(0)=0 نحصل منه على
0=c_1+c_2-7/85 ?(1)
و الشرط الابتدائي الثاني v_0=1 m/sec?
v(t)=dx/dt=-3c_1 e^(-3t)-4c_2 e^(-4t)+11/85 cos?t+7/85 sin?t
v(0)=v_0=1=-3c_1-4c_2+11/85 ?(2)
وبضرب المعادلة 3 بـ (1) وجمعها مع (2) نحصل على
-c_2-10/85=1 ? c_2= -95/85 and c_1=102/85
?( ? x=102/85 e^(-3t)-95/85 e^(-4t)+11/85 sin?t-7/85 cos?t )



س4/ (a)حل المعادلة التفاضلية y^ +y=x باستعمال تحويل لابلاس بالشروط .y^ (0)=2 , y(0)=1
بأخذ مؤثر تحويل لابلاس للمعادلة التفاضلية L{y^ }+L{y}=L{x}
p^2 L{y(x)}-py(0)-y^ (0)+L{y(x)}=1/p^2
بتعويض الشروط الابتدائية نحصل على :
(p^2+1)L{y(x)}-p-2=1/p^2
(p^2+1)L{y(x)}=1/p^2 +p+2=(p^3+2p^2+1)/p^2
L{y(x)}=(p^3+2p^2+1)/(p^2 (p^2+1) )
(p^3+2p^2+1)/(p^2 (p^2+1) )=A/p+B/p^2 +(Cp+D)/(p^2+1)=(Ap(p^2+1)+B(p^2+1)+(Cp+D) p^2)/(p^2 (p^2+1) )
p^3+2p^2+1=Ap^3+Ap+Bp^2+B+Cp^3+Dp^2
A+C=1 ,B+D=2 , A=0 and B=1 ? C=1 and D=1
L{y(x)}=1/p^2 +p/(p^2+1)+1/(p^2+1)
y(x)=L^(-1) {1/p^2 }+L^(-1) {p/(p^2+1)}+L^(-1) {1/(p^2+1)}
فيكون حل المعادلة التفاضلية المعطاة هو :
?(?(_^)y(x)=x+cos?x+sin?x ?_^ )


(b) وضع جسم درجة حرارته 50? في مختبر درجة حرارته ثابتة وتساوي 100? ، بعد 5 min اصبحت درجة
حرارة الجسم 60? ما الزمن اللازم لتصل درجة حرارة الجسم الى 75? .
?dT/dt?^ +kT=kT_(s ) ? ?dT/dt?^ +kT=100k
واضح ان المعادلة خطية فيها P(t)=k , Q(t)=100k
لذا فان عامل التكامل
I.F=e^??kdt=e^kt
فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية هو :
(I.F) T=??(I.F) Q(t)dt+c ? e^kt T=??e^kt (100k)dt+c
e^kt T=100e^kt+c ? T=100+ce^(-kt)
ولمعرفة قيمة الثابت c نعوض الشرط الابتدائي t=0 عند T=100
50 =100+c ? c=-50
عند t=5 تكون T=60
60=100-50e^(-5k)
40=50e^(-5k)
e^(-5k)=( 4 )/5=0.8
-5k=ln?0.8=-0.223
k=0.0446
وبهذا تصبح العلاقة بين درجة حرارة الجسم والزمن
T=100-50e^(-0.0446t)
الزمن اللازم لكي تكون درجة حرارة الجسم 75?
75=100-50e^(-0.0446t)
25=50e^(-0.0446t)
e^(-0.0446t)=0.5
-0.0446t=ln?0.5=-0.693
t=15.5 min



س5/ (a) باستعمال المتسلسلات جد حل المعادلة التفاضلية x^2 y^ +y^ +x^2 y=0 .
الحل : نفرض :
y=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+a_5 x^5+?
y^ =a_1+2a_2 x^ +3a_3 x^2+4a_4 x^3+5a_5 x^4+?
y^ =2a_2+6a_3 x^ +12a_4 x^2+20a_5 x^3+?
x^2 y^ =0 + 0 +2a_2 x^2+6a_3 x^3+?
y^ = a_1 +2a_2 x+3a_3 x^2+4a_4 x^3+?
x^2 y= 0 + 0 +a_0 x^2+a_1 x^3 +?
وبمساواة معاملات x المختلفة القوى بالصفر
a_1=a_2=0
2a_2+3a_3+a_0=0 ? ?( a_3=(-1 )/( 3 ) a_0 )
6a_3+4a_4+a_1=0 ? a_4=(-6 )/4 a_3 ? ?( a_4=(1 )/2 a_0 )
وعليه فان الحل العام للمعادلة التفاضلية
y=a_0+(-1 )/( 3 ) a_0 x^3+(1 )/2 a_0 x^4+?
?( y=a_0 (1-( 1 )/( 4 ) x^3+(1 )/2 x^4+?) )







(b) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية
.xydy-(1+y^2)/(1+x^2 ) dx=0
نفصل المتغيرات بالقسمة على x(1+y^2 ) فينتج :
y/(1+y^2 ) dy-1/x(1+x^2 ) dx=0
باستعمال تجزئة الكسور
1/x(1+x^2 ) =A/x+(Bx+C)/(1+x^2 )=(A(1+x^2 )+x(Bx+C))/x(1+x^2 )
1=A+Ax^2+Bx^2+Cx=A+Cx+(A+B) x^2
وبمساواة الحد المطلق بالطرفين نحصل على : A=1
وبمساواة معامل xبالطرفين نحصل على : C=0
وبمساواة معامل x^2بالطرفين نحصل على : A+B=0 ومنها B=-1
y/(1+y^2 ) dy-[( 1 )/x-1/((1+x^2 ) )]dx=0
وبالتكامل نحصل على :
(1?2) ln?(1+y^2 )-ln?x+(1?2) ln?(1+x^2 )=ln?c
ln?(1+y^2 )-2 ln?x+ln?(1+x^2 )=2ln?c
ln?(1+y^2 )-ln??x^2 ?+ln?(1+x^2 )=ln??c^2 ?
ln??(1+y^2 )(1+x^2 )/x^2 =ln??c^2 ? ?
وبهذا يكون الحل العام للمعادلة التفاضلية : (1+y^2 )(1+x^2 )=x^2 k حيث k=c^2