طريقة فروبنيوس

طريقة فروبنيوس Method of Frobenius
في بعض الاحيان يكتشف الباحث في المجالات التطبيقية ان المعادلة التفاضلية التي لديه من العسير حلها بالطرق الاعتيادية وكذلك لا يمكن كتابة الحل بصورة متسلسلة قوى فما على الباحث الا ان يفترض صورة اخرى للحل ( وهو مازال يستعمل المتسلسلات ) وهذه الصورة تُسمى بمتسلسلة فروبنيوس وهي :
y=x^c ?_(n=0)^??a_n x^n ; a_0?0
ومتسلسلة فروبنيوس ذات فعالية بايجاد حل المعادلات التفاضلية التي بالصورة :
P(x) y^ +Q(x) y^ +R(x)y=0
حيث P(x) ,Q(x) ,R(x) هي كثيرات حدود لـ x . وسنبين طريقة فروبنيوس من خلال الامثلة التالية :
مثال (4) حل المعادلة التفاضلية التالية 4x y^ +2y^ +y=0
الحل : بفرض ان
y=x^c ?_(n=0)^??a_n x^n=a_0 x^c+a_1 x^(c+1)+a_2 x^(c+2)+?
y =ca_0 x^(c-1)+(c+1) a_1 x^c+(c+2) a_2 x^(c+1)+?
y =c(c-1) a_0 x^(c-2)+c(c+1) a_1 x^(c-1)+(c+1)(c+2) a_2 x^c+?
4xy =4c(c-1) a_0 x^(c-1)+4c(c+1) a_1 x^c+4(c+1)(c+2) a_2 x^(c+1)+?
وبالتعويض بالمعادلة الاصلية والترتيب نحصل على
4x y^ +2y^ +y=[4c(c-1) a_0+2ca_0 ] x^(c-1)
+[4c(c+1) a_1+2(c+1) a_1+a_0 ] x^c
+[4(c+1)(c+2) a_2+2(c+2) a_2+a_1 ] x^(c+1)+?=0
وبمساواة معاملات x المختلفة القوى بالصفر
4c(c-1) a_0+2ca_0=0
4c(c+1) a_1+2(c+1) a_1+a_0=0
4(c+1)(c+2) a_2+2(c+2) a_2+a_1=0
وهكذا ?
وباعتبار ان a_0?0 فمن المعادلة الاولى نحصل على c=0 , c=1?2
ومن المعادلة الثانية نحصل على :
a_1=(-a_0)/(4c(c+1)+2(c+1) )
ومن المعادلة الثالثة نحصل على :
a_2=(-a_1)/(4(c+1)(c+2)+2(c+2) )
وهكذا ? وعموماً
a_n=(-a_(n-1))/(4(c+n-1)(c+n)+2(c+n) )
عندما c=0 فان :
a_1=(-a_0)/2 ,a_2=(-a_1)/12=a_0/24 ,a_3=(-a_2)/30=?-a?_0/720 ,?
وبذلك يكون
? y?_1=a_0 (1-x/2!+x^2/4!-x^3/6!+?)=A cos??x
عندما c=1?2 فان :
a_1=(-a_0)/6 ,a_2=(-a_1)/20=a_0/120 ,a_3=(-a_2)/42=?-a?_0/5040 ,?
وبذلك يكون
? y?_2=a_0 (?x-(?x)^3/3!+(?x)^5/5!-(?x)^7/7!+?)=B sin??x
وعليه فان الحل العام للمعادلة التفاضلية
y=A cos??x+B sin??x
مثال (5) حل المعادلة التفاضلية التالية 9x^2 y^ +3x^2 y^ +2y=0
الحل : بفرض ان
y=x^c ?_(n=0)^??a_n x^n=?_(n=0)^??a_n x^(n+c)
9x^2 ?_(n=0)^???(n+c)(n+c-1) a_n ? x^(n+c-2)+3x^2 ?_(n=0)^???(n+c) a_n ? x^(n+c-1)+2?_(n=0)^??a_n x^(n+c)=0
?_(n=0)^???9(n+c)(n+c-1) a_n ? x^(n+c)+?_(n=0)^???3(n+c) a_n ? x^(n+c+1)+?_(n=0)^???2a?_n x^(n+c)=0
?_(k=0)^???9(k+c)(k+c-1) a_k ? x^(k+c)+?_(k=1)^???3(k+c-1) a_(k-1) ? x^(k+c)+?_(k=0)^???2a?_k x^(k+c)=0
(9c(c-1)+2) a_0 x^c+?_(k=1)^???9(k+c)(k+c-1) a_k ? x^(k+c)+?_(k=1)^???3(k+c-1) a_(k-1) ? x^(k+c)+?_(k=1)^???2a?_k x^(k+c)=0
وبمساواة معامل x^c بالصفر
(9c(c-1)+2) a_0=0
وحيث a_0?0
9c(c-1)+2=0 ? 9c^2-9c+2=0
(3c-2)(3c-1)=0 ? c=2/3 , 1/3
وبمساواة معامل x^(k+c) بالصفر
(9(k+c)(k+c-1)+2) a_k+3(k+c-1) a_(k-1)=0
a_k=-3(k+c-1)/(9(k+c)(k+c-1)+2) a_(k-1)
عندما c=2?3 فان :
a_1=-3(1+(2?3)-1)/(9(1+(2?3))(1+(2?3)-1)+2) a_0=-1/6 a_0
a_2=-3(2+(2?3)-1)/(9(2+(2?3))(2+(2?3)-1)+2) a_1=-5/42 a_1=5/252 a_0
a_3=-3(3+(2?3)-1)/(9(3+(2?3))(3+(2?3)-1)+2) a_2=-8/90 a_2=-1/567 a_0
? y?_1=A(x^(2?3)-1/6 x^(5?3)+5/252 x^(8?3)-1/567 x^(11?3)+?)
عندما c=1?3 فان :
a_1=-3(1+(1?3)-1)/(9(1+(1?3))(1+(1?3)-1)+2) a_0=-1/6 a_0
a_2=-3(2+(1?3)-1)/(9(2+(1?3))(2+(1?3)-1)+2) a_1=-4/30 a_1=1/45 a_0
a_3=-3(3+(1?3)-1)/(9(3+(1?3))(3+(1?3)-1)+2) a_2=-7/72 a_2=-7/3420 a_0
? y?_2=B(x^(1?3)-1/6 x^(4?3)+1/45 x^(7?3)-7/3420 x^(10?3)+?)
y=A(x^(2?3)-1/6 x^(5?3)+5/252 x^(8?3)-1/567 x^(11?3)+?)+B(x^(1?3)-1/6 x^(4?3)+1/45 x^(7?3)-7/3420 x^(10?3)+?)

تمارين
جد حل المعادلات التفاضلية التالية باستعمال المتسلسلات
1. y^ +xy^ =0
2. y^ +xy^ +y=0
3. x y^ +y^ +xy=0
4. x^2 y^ +y^ +x^2 y=0
جد حل المعادلات التفاضلية التالية باستعمال طريقة فروبنيوس
5. 2xy^ +(x+1) y^ +3y=0
ans?y=A(x^(1?2)-7/6 x^(3?2)+21/40 x^(5?2)-11/80 x^(7?2)+?)+B(1-3x+2x^2-2/3 x^3+?)
6. x^2 y^ +xy^ +(x^2-1/4)y=0 ans? y=A cos?x/?x+B?x sin?x
7. x^2 y^ +6xy^ +6y=0 ans? y=Ax^(-2)+Bx^(-3)