حل المعادلات التفاضلية باستعمال المتسلسلات

حل المعادلات التفاضلية باستعمال المتسلسلات
بعض خصائص العلاقات التجميعية :
1. ?_(n=i)^k?Q(n) =Q(i)+Q(i+1)+?+Q(k-1)+Q(k) , k>i
2. ?_(n=0)^??Q(n) a_n x^(n+m)=?_(n=m)^??Q(n-m) a_(n-m) x^n , n>m
3. ?_(n=0)^??(a_n+b_n ) x^n=?_(n=0)^??a_n x^n+?_(n=0)^??b_n x^n
4.If ?_(n=0)^??(a_n-b_n ) x^n=0 ; x?0 then a_n-b_n=0
5.If ?_(n=0)^??n a_n x^n= ?_(n=1)^???a_(n-1) x^n ? then a_0=a_1 ,a_1=2a_2 ,?,a_(n-1)=na_n
therefor a_1=a_(0 ) , a_2=a_(0 )/2! , a_3=a_(0 )/3! , ? ,a_n=a_(0 )/n!
6. d/dx ( ?_(n=0)^??x^n )=?_(n=1)^??n x^(n-1)
متسلسلة تايلر لبعض الدوال
1. e^x=?_(n=0)^??x^n/n! 2. ln?(x+1)=?_(n=0)^??((-1)^n x^(n+1))/(n+1)!
3. sin?x=?_(n=0)^??((-1)^n x^(2n+1))/(2n+1)! 4. cos?x=?_(n=0)^??((-1)^n x^2n)/(2n)!
5. tan^(-1)?x=?_(n=0)^??((-1)^n x^(2n+1))/(2n+1)
لحل المعادلات التفاضلية باستعمال المتسلسلات نفرض ان حل المعادلة التفاضلية هو
y=?_(n=0)^??a_n x^n
ومنها نجد y^ ,y^ , ? وهنا يجب ان تكون المتسلسلة متقاربة لقيم معينة لـ x .

مثال (1) حل المعادلة التفاضلية y^ -y=0باستعمال المتسلسلات .
الحل : لاحظ اننا في هذه المعادلة التفاضلية نستطيع فصل المتغيرات وكالتالي
dy/dx=y ? dy/y=dx ? ln?y=x+c ? y=e^(x+c)=e^x.e^c=ke^x
الحل اعلاه هو باستعمال الطرق الاعتيادية ولحل هذه المعادلة باستعمال المتسلسلات نفرض :
y=?_(n=0)^??a_n x^n ? y^ =?_(n=1)^??n a_n x^(n-1)=?_(n=0)^??(n+1) a_(n+1) x^n
وبتعويض y ,y^ في المعادلة التفاضلية نحصل على
?_(n=0)^??(n+1) a_(n+1) x^n-?_(n=0)^??a_n x^n=0
?_(n=0)^??[(n+1) a_(n+1)-a_n ] x^n=0
(n+1) a_(n+1)-a_n=0 ? a_(n+1)=a_n/((n+1) )
n=0 ? a_1=a_0/(0+1)=a_0
n=1 ? a_2=a_1/(1+1)=a_0/2=a_0/2!
n=2 ? a_3=a_2/(2+1)=a_0/2.3=a_0/3!
n=3 ? a_4=a_3/(3+1)=a_0/2.3.4=a_0/4!
?
a_n=a_0/n!
وبالتعويض في الفرضية ينتج :
y=?_(n=0)^??a_0/n! x^n =a_0 ?_(n=0)^??x^n/n!=a_0 e^x




مثال (2) حل المعادلة التفاضلية y^ +x^2 y=0باستعمال المتسلسلات .
الحل : نفرض :
y=?_(n=0)^??a_n x^n
x^2 y=?_(n=0)^??a_n x^(n+2)
= a_0 x^2+a_1 x^3+a_2 x^4+a_3 x^5+?+a_(n-4) x^(n-2)+a_(n-3) x^(n-1)+a_(n-2) x^n+?
y^ =?_(n=1)^??n a_n x^(n-1)
y^ =?_(n=2)^??n(n-1) a_n x^(n-2)
=2a_2+6a_3 x+12a_4 x^2+?20a?_5 x^3+30a_6 x^4+42a_7 x^5+?+n(n-1) a_n x^(n-2)+?
وبتعويض x^2 y ,y^ في المعادلة التفاضلية نحصل على :
2a_2+6a_3 x+12a_4 x^2+?20a?_5 x^3+30a_6 x^4+42a_7 x^5+?+n(n-1) a_n x^(n-2)+?
+? a?_0 x^2 +a_1 x^3 +a_2 x^4 + a_3 x^5+? + a_(n-4) x^(n-2) +?=0
ومنها نحصل على :
a_2=a_3=0 , 12a_4+? a?_0=0 ,?20a?_5+a_1=0 , 30a_6+a_2=0 ,42a_7+a_3=0,
?, and n(n-1) a_n=a_(n-4)
وعليه فان :
a_2=a_3=a_6=a_7=a_10=a_11=?=0
a_4=(-? a?_0)/12 ,a_5=(-? a?_1)/20 and a_n=(-? a?_(n-4))/n(n-1)
وبهذا يكون الحل العام للمعادلة التفاضلية :
y= a_0+a_1 x+a_4 x^4+a_5 x^5+a_8 x^8+a_9 x^9+a_12 x^12+?
= a_0+a_1 x+(-? a?_0)/12 x^4+(-? a?_1)/20 x^5+(-? a?_4)/(8*7) x^8+(-? a?_5)/(9*8) x^9+(-? a?_8)/(12*11) x^12+?
= a_0+a_1 x+(-? a?_0)/12 x^4+(-? a?_1)/20 x^5+? a?_0/(12*56) x^8+? a?_1/(20*72) x^9+(-? a?_0)/(12*56*132) x^12+?
?(=a_0 (1-x^4/12+x^8/(12*56)-x^12/(12*56*132)+?)+a_1 (x-x^5/20+x^9/(20*72)-x^13/(20*72*156)+?) )

مثال (3) حل المعادلة التفاضلية y^ -xy=0باستعمال المتسلسلات .
الحل : نفرض :
y=?_(n=0)^??a_n x^n
xy=?_(n=0)^??a_n x^(n+1)
= a_0 x+a_1 x^2+a_2 x^3+a_3 x^4+?+a_(n-3) x^(n-2)+a_(n-2) x^(n-1)+?
y^ =?_(n=1)^??n a_n x^(n-1)
y^ =?_(n=2)^??n(n-1) a_n x^(n-2)
=2a_2+6a_3 x+12a_4 x^2+?20a?_5 x^3+30a_6 x^4+42a_7 x^5+?+n(n-1) a_n x^(n-2)+?
وبتعويض xy ,y^ في المعادلة التفاضلية نحصل على :
2a_2+6a_3 x+12a_4 x^2+?20a?_5 x^3+30a_6 x^4+ ? +n(n-1) a_n x^(n-2)+?
-a_0 x -a_1 x^2 -a_2 x^3 -a_3 x^4 - ? -a_(n-3) x^(n-2)-?=0
a_2=0 , 6a_3-a_0=0 , 12a_4-a_1=0 ,?20a?_5-a_2=0 ,30a_6-a_3=0
and n(n-1) a_n-a_(n-3)=0
a_2=a_5=a_8= ?=0
a_3=? a?_0/6 ,a_4=? a?_1/12 and a_n=? a?_(n-3)/n(n-1)
وبهذا يكون الحل العام للمعادلة التفاضلية :
y= a_0+a_1 x+a_3 x^3+a_4 x^4+a_6 x^6+a_7 x^7+a_9 x^9+a_10 x^10+?
?(=a_0 (1+x^3/6+x^6/(6*30)+x^9/(6*30*72)+?)+a_1 (x+x^4/12+x^7/(12*42)+x^10/(12*42*90)+?) )