حل المعادلات التفاضلية باستعمال تحويلات لابلاس

تحويلات لابلاس للمشتقات :
لتكن الدالة y=y(x) قابلة للاشتقاق فان :
1. L{dy/dx}=pL{y(x)}-y(0)
2. L{(d^2 y)/(dx^2 )}=p^2 L{y(x)}-py(0)-y^ (0)
وبصورة عامة
L{(d^n y)/(dx^n )}=p^n L{y(x)}-p^(n-1) y(0)-p^(n-2) y^ (0)-p^(n-3) y^ (0)-?-py^((n-2) ) (0)-y^((n-1) ) (0)
حل المعادلات التفاضلية باستعمال تحويلات لابلاس
من الممكن استعمال تحويلات لابلاس ومعكوسها لحل المعادلات التفاضلية والامثلة التالية توضح ذلك
مثال (5) جد حل المعادلة التفاضلية التالية y^ +2y=cos?x باستعمال تحويلات لابلاس اذا كان y(0)=1 .
الحل : بأخذ مؤثر تحويل لابلاس للمعادلة التفاضلية L{y^ }+2L{y(x)}=L{cos?x }
pL{y(x)}-y(0)+2L{y(x)}=p/(p^2+1) ? (p+2)L{y(x)}-1=p/(p^2+1)
(p+2)L{y(x)}=p/(p^2+1)+1 ? (p+2)L{y(x)}=(p+p^2+1)/(p^2+1)
L{y(x)}=(p^2+p+1)/(p+2)(p^2+1)
الآن نستعمل تجزئة الكسور
(p^2+p+1)/(p+2)(p^2+1) =A/((p+2) )+(Bp+C)/((p^2+1) )=(A(p^2+1)+(Bp+C)(p+2))/(p+2)(p^2+1)
p^2+p+1=Ap^2+A+Bp^2+2Bp+Cp+2C
A+B=1 ,2B+C=1 and A+2C=1
هنا يمكن ايجاد قيمة A فقط باستعمال طريقة الغطاء وكما يلي :
p=-2 ? A=((-2)^2+(-2)+1)/((-2)^2+1)=( 3 )/( 5 )
? B=( 2 )/( 5 ) and C=( 1 )/( 5 )
? (p^2+p+1)/(p+2)(p^2+1) =3/5(p+2) +(2p+1)/5(p^2+1) =( 3 )/( 5 ) 1/(p+2)+( 2 )/( 5 ) p/(p^2+1)+1/5 1/(p^2+1)
L{y(x)}=( 3 )/( 5 ) 1/(p+2)+( 2 )/( 5 ) p/(p^2+1)+1/5 1/(p^2+1)
ومنها
y(x)=( 3 )/( 5 ) L^(-1) {1/(p+2)}+( 2 )/( 5 ) L^(-1) {p/(p^2+1)}+( 1 )/( 5 ) L^(-1) {1/(p^2+1)}
فيكون حل المعادلة التفاضلية المعطاة هو :
y(x)=( 3 )/( 5 ) e^(-2x)+( 2 )/( 5 ) cos?x+( 1 )/( 5 ) sin?x
مثال (6) جد حل المعادلة التفاضلية التالية y^ +y=x باستعمال تحويلات لابلاس بالشروط الابتدائية
y (0)=2 , y(0)=1 .
الحل : بأخذ مؤثر تحويل لابلاس للمعادلة التفاضلية L{y^ }+L{y}=L{x}
p^2 L{y(x)}-py(0)-y^ (0)+L{y(x)}=1/p^2
بتعويض الشروط الابتدائية نحصل على :
(p^2+1)L{y(x)}-p-2=1/p^2 ? (p^2+1)L{y(x)}=1/p^2 +p+2=(p^3+2p^2+1)/p^2
L{y(x)}=(p^3+2p^2+1)/(p^2 (p^2+1) )
(p^3+2p^2+1)/(p^2 (p^2+1) )=A/p+B/p^2 +(Cp+D)/(p^2+1)=(Ap(p^2+1)+B(p^2+1)+(Cp+D) p^2)/(p^2 (p^2+1) )
p^3+2p^2+1=Ap^3+Ap+Bp^2+B+Cp^3+Dp^2
A+C=1 ,B+D=2 , A=0 and B=1 ? C=1 and D=1
L{y(x)}=1/p^2 +p/(p^2+1)+1/(p^2+1)
y(x)=L^(-1) {1/p^2 }+L^(-1) {p/(p^2+1)}+L^(-1) {1/(p^2+1)}
فيكون حل المعادلة التفاضلية المعطاة هو :
y(x)=x+cos?x+sin?x


مثال (7) جد حل المعادلة التفاضلية التالية y^ -3y +2y=4e^2x باستعمال تحويلات لابلاس بالشروط الابتدائية y^ (0)=5 , y(0)=-3 .
الحل : بأخذ مؤثر تحويل لابلاس للمعادلة التفاضلية L{y^ }-3L{y }+2L{y}=4L{e^2x }
p^2 L{y(x)}-py(0)-y^ (0)-3pL{y(x)}+3y(0)+2L{y}=4/(p-2)
بتعويض الشروط الابتدائية نحصل على :
p^2 L{y(x)}+3p-5-3pL{y(x)}-9+2L{y(x)}=4/(p-2)
(p^2-3p+2)L{y(x)}=4/(p-2)+14-3p=(-3p^2+20p-24)/(p-2)
L{y(x)}=(-3p^2+20p-24)/(p-2)(p^2-3p+2) =(-3p^2+20p-24)/((p-2)^2 (p-1) )
(-3p^2+20p-24)/((p-2)^2 (p-1) )=A/(p-2)+B/(p-2)^2 +C/(p-1)=(A(p-2)+B+C(p-2)^2)/((p-2)^2 (p-1) )
-3p^2+20p-24=Ap-2A+B+Cp^2-4Cp+4C
C=-3 ,A-4C=20 ? A=8 ,-2A+B+4C=-24 ? B=20
L{y(x)}=8/(p-2)+20/(p-2)^2 -3/(p-1)
y(x)=L^(-1) {8/(p-2)}+L^(-1) {20/(p-2)^2 }-L^(-1) {3/(p-1)}
فيكون حل المعادلة التفاضلية المعطاة هو :
y(x)=8e^2x+20xe^2x-3e^x





تمارين
جد تحويل لابلاس للدوال التالية :
1. e^3x+cos?2x 2. x^2 e^(-3x) 3. e^2x sin?3x 4. x^3 sin?2x
5.?_0^t??te^(-3t) dt? 6. ( cos?2x-cos?5x)/x 7. (e^(-3x)-e^x)/x
جد الدالة f(x) المقابلة لمعكوس لابلاس لكل مما يلي :
9.L^(-1) {(3p-2)/(p^2-9p+20)} 10. L^(-1) {3/(p^3-5p)} 11. L^(-1) {1/(p+3)(p-4)^2 }
جد حل المعادلات التفاضلية التالية تحت الشروط الابتدائية المعطاة :
12. y^ +3y^ +2y=0 ; y^ (0)=-1 , y(0)=1
13. y^ +2y^ +5y=e^(-x) sin?x ; y^ (0)=1 , y(0)=0
14. y^ +2y^ +y=3xe^(-x) ; y(0)=4 ,y^ (0)=2
15. y^ -3y^ +3y^ -y=x^2 e^x ; y(0)=1 ,y^ (0)=y (0)=2