تكاملات تحتوي على الفرق بين مربعين أو مجموع مربعين

ثالثاً : تكاملات مشتملة على ?a^2+u^2 و a?^2-u^2,?(a^2+u^2 ),?(u^2-a^2 ),?(a^2-u^2 )
لحل التكاملات المشتملة على مجموع مربعين أو الفرق بين مربعين نستخدم الفرضيات الآتية :
لـ ?(a^2-u^2 ) أو a^2-u^2 نستخدم الفرضية u=a sin??
لـ ?(a^2+u^2 ) أو a^2+u^2 نستخدم الفرضية u=a tan??
لـ ?(u^2-a^2 ) أو u^2-a^2 نستخدم الفرضية u=a sec??
مثال : جد
1.??(x^2 dx)/?(9-x^2 ) 2.??dx/?(4+x^2 ) 3.??(?(x^2-2 ) dx)/x
4.??dx/(x^2+4)^(3/2) 5.?_0^1??(1-x^2 ) dx
الحل :
1. x=3 sin?? then dx=3 cos?? d?
and 9-x^2=9(1-sin^2?? )=9 cos^2??
???(9 sin^2???×3 cos?? d??)/(3 cos?? )=9??sin^2??d?
=( 9 )/2 ??(1-cos?2? ) d?
=(9?2)(?-(1?2) sin?2? )+c
=(9?2)(?-sin?? cos?? )+c




???(x^2 dx)/?(9-x^2 )=9/2 (sin^(-1)??x/3?-(x?(9-x^2 ))/9)+c



2. x=2 tan?? then dx=2 sec^2?? d?
and 4+x^2=4(1+tan^2?? )=4 sec^2??
??dx/?(4+x^2 )=??(2 sec^2?? d? )/(2 sec?? )
=??sec?? d?=??(sec?? (sec??+tan?? )d?)/((sec??+tan?? ) )
=??(sec^2?? ?+sec??? tan?? )d?/((sec??+tan?? ) )
=ln?|sec??+tan?? |+c_1




??dx/?(4+x^2 )=ln??|?(4+x^2 )/2+x/2|+c_1 ?=ln??|?(4+x^2 )+x|-ln??2+c_(1 ) ? ?
?( =ln??|?(4+x^2 )+x|+c? ;c=-ln??2+c_(1 ) ? ?)
3.x=?2 sec?? ? dx=?2 sec??? tan?? ? d? ,x^2-2=2(sec^2??-1)=2 tan^2??
??(?(x^2-2 ) dx)/x=??(?2?tan?? ×?2 sec??? tan?? ? d?)/(?2 sec?? )=?2 ???tan?^2???d? ?
=?2 ??(sec^2??-1) d?=?2 (tan??-?)+c




?(???(?(x^2-2 ) dx)/x=?2 (?(x^2-2 )/?2-sec^(-1)??x/?2? )+c=?(x^2-2 )-?2 sec^(-1)??x/?2?+c ?)
4. x=2 tan?? ? dx=2 sec^2?? d? ,(x^2+4)^(3/2)=(4 tan^2???+4? )^(3/2)=8 sec^3??
??dx/(x^2+4)^(3/2) =??(2 sec^2?? d?)/(8 sec^3?? )
=( 1 )/4 ??d?/sec?? =( 1 )/4 ??cos???d?=( 1 )/4 sin???+c ? ?



?(???dx/(x^2+4)^(3/2) =x/(4?(x^2+4))+c ?)
5. x=sin?? ? dx=cos?? d? , ?(1-x^2 )=?(1 sin^2?? )=cos??
when x=0 then ?=sin^(-1)?0=0 ,when x=1 then ?=sin^(-1)?1=?/2
?_0^1??(1-x^2 ) dx=?_0^(?/2)?cos^2?? d?=1/2 ?_0^(?/2)??(1+cos??2?)? ? d?
?( =1/2 [?+1/2 sin?2? ]_0^(?/2)=1/2 [?/2+1/2 sin???-(0+sin??0)? ? ]=( ? )/4 )
تمارين
1.??(x+1)dx/?(4-x^2 ) 2.?_0^1?dx/(x^2+1)^2
3.??(x^3 dx)/?(x^2+1) 4.??(?(x^2-4) dx)/x^3
5.?_0^(?3?2)?(4x^2 dx)/(?1-x?^2 )^(3?2) 6.??dx/(x^3 ?(x^2-1))