تحويلات لابلاس العكسية

جامعة بابل - كلية العلوم محاضرات الاستاذ فؤاد حمزة عبد


تحويلات لابلاس العكسية :
من تحويل لابلاس للدالة f(x) وجدنا ان L{?(_^)f(x) ?^ }=¯f (p) وبفرض ان المؤثر L^(-1) هو معكوس المؤثر L
فان : f(x)=L^(-1) {(_^)¯f (p) } يُسمى بتحويل لابلاس العكسي للدالة ¯f (p) .
وعليه نستطيع ان نكون الجدول التالي :
f(x)=L^(-1) {?(_^)¯f (p) ?^ } ¯f (p) No.
a ( a )/p 1.
x^n ?(n+1)/p^(n+1) 2.
e^ax 1/(p-a) 3.
sin?ax a/(p^2+a^2 ) 4.
cos?ax p/(p^2+a^2 ) 5.
sinh?ax a/(p^2-a^2 ) ; |a|

cosh?ax p/(p^2-a^2 ) ; |a|

مثال (4) جد الدالة f(x) لكل مما يلي :
1. L^(-1) {1/(p^2-2p-3)} 2. L^(-1) {p/(p^4+13p^2+36)} 3. L^(-1) {2/(p^3+2p)}





الحل :
1. 1/(p^2-2p-3)=1/(p-3)(p+1)
باستعمال تجزئة الكسور
1/(p-3)(p+1) =A/(p-3)+B/(p+1)
p=3 ? A=( 1 )/4 and p=-1 ? B=(-1)/4
1/(p^2-2p-3)=( 1 )/4 (1/(p-3)-1/(p+1))
L^(-1) {1/(p^2-2p-3)}=( 1 )/4 L^(-1) {(1/(p-3)-1/(p+1))}=1/4 (L^(-1) {1/(p-3)}-L^(-1) {1/(p+1)})
? f(x)=1/4 (e^3x-e^(-x) )
2. p/(p^4+13p^2+36)=p/(p^2+4)(p^2+9) =(Ap+B)/(p^2+4)+(Cp+D)/(p^2+9)
=((Ap+B)(p^2+9)+(Cp+D)(p^2+4))/(p^2+4)(p^2+9)
?p=?(Ap^3 )+?9Ap+?(?(Bp^2 ))+9B+?(Cp^3 )+?4Cp+?(?(Dp^2 ))+4D
A+C=0 , 9A+4C=1 ,B+D=0 and 9B+4D=0
بحل المعادلات الاربع نجد :
A=( 1 )/( 5 ) , C=-( 1 )/( 5 ) and B=D=0
L^(-1) {p/(p^4+13p^2+36)}=( 1 )/5 L^(-1) {(p/(p^2+4)-p/(p^2+9))}=1/5 (L^(-1) {p/(p^2+4)}-L^(-1) {p/(p^2+9)})
? f(x)=1/5 (cos?2x-cos?3x )
3. 2/(p^3+2p)=2/p(p^2+2) =A/p+(Bp+C)/(p^2+2)=(Ap^2+2A+Bp^2+Cp)/p(p^2+2)
منها نجد A=1 , B=-1 and C=0
L^(-1) {2/(p^3+2p)}=L^(-1) {1/p}-1/?2 L^(-1) {?2/(p^2+2)}
? f(x)=1-1/?2 sin???(2 ) x?