تحويلات لابلاس

تحويلات لابلاس Laplace Transformation
لتكن f(x) أي دالة و p>0 فان التكامل ¯f (p)=?_0^???f(x) e^(-px) dx? يُسمى بتحويل لابلاس للدالة f(x) ونرمز له بالرمز L{?(_^)f(x) ?^ } .
مثال (1) جد تحويل لابلاس للدالة f(x)=e^2x
الحل :
L{e^2x }=?_0^??e^2x e^(-px) dx=?_0^??e^(-(p-2)x) dx=(-1)/(p-2) ? e^(-(p-2)x) ?|_0^?=(-1)/(p-2) (0-1)=1/(p-2)
خاصية : لتكن كل من f(x) و g(x) دوال و كل من ? و ? ثوابت فان
L{(_^)?f(x) ???g(x)?^ }=?L{?(_^)f(x) ?^ }??L{?(_^)g(x) ?^ }
تحويلات لابلاس لبعض الدوال
الجدول ادناه يوضح تحويلات لابلاس لبعض الدوال
¯f (p)=L{?(_^)f(x) ?^ } f(x) No.
( a )/p a 1.
?(n+1)/p^(n+1) x^n 2.
1/(p-a) e^ax 3.
a/(p^2+a^2 ) sin?ax 4.
p/(p^2+a^2 ) cos?ax 5.
a/(p^2-a^2 ) ; |a|

p/(p^2-a^2 ) ; |a|

البرهان :
2. L{x^n }=?_0^??x^n e^(-px) dx
بفرض ان u=px يكون du=pdx فيصبح التكامل كما يلي :
?_0^??x^n e^(-px) dx=?_0^??(u/p)^n e^(-u)/p du=1/p^(n+1) ?_0^??u^n e^(-u) du=?(n+1)/p^(n+1)
? L{x^n }=?(n+1)/p^(n+1)
4. L{?(_^)sin?ax ?^ }=?_0^??sin?ax e^(-px) dx


?_0^??sin?ax e^(-px) dx=? (-1)/( a) e^(-px) cos??ax ?-p/a^2 e^(-px) sin?ax ?|_0^?-p^2/a^2 ?_0^??sin?ax e^(-px) dx
(1+p^2/a^2 ) ?_0^??sin?ax e^(-px) dx=(-1)/( a) (0-1)-p/a^2 (0-0)
((a^2+p^2)/a^2 ) ?_0^??sin?ax e^(-px) dx=1/( a)
? ?_0^??sin?ax e^(-px) dx=a/(a^2+p^2 )
? L{?(_^)sin?ax ?^ }=a/(a^2+p^2 )


7. L{?(_^)cosh?ax ?^ }=L{(e^ax+e^(-ax))/2}=1/2 (L{e^ax }+L{e^(-ax) })
=1/2 (1/(p-a)+1/(p+a))
=1/2 ((p+a+p-a)/(p-a)(p+a) )=p/(p^2-a^2 )
? L{?(_^)cosh?ax ?^ }=p/(p^2-a^2 )
مثال (2) جد تحويلات لابلاس للدوال التالية :
1. f(x)=?( ( x )/( ? ) )+1/2 x^2 2. f(x)=2 sin?3x+3e^2x
3. f(x)=sinh?2x-cos?5x 3. f(x)=3 cosh??x/2?-1/?x
الحل :
1.L{?( ( x )/( ? ) )+1/2 x^2 }=L{?( ( x )/( ? ) )}+L{1/2 x^2 }=1/?(? ) L{x^(1/2) }+1/2 L{x^2 }
=1/?(? ) ?(1/2+1)/p^(1/2+1) +?(2+1)/(2p^(2+1) )
=(1/2 ?(1/2))/(?(? ) p^(3/2) )+?(3)/(2p^3 )
=1/(2p^(3/2) )+2!/(2p^3 )=1/(2p^(3/2) )+1/p^3 =(p^(3/2)+2)/(2p^3 )
2. L{2 sin?3x+3e^2x }=L{2 sin?3x }+L{3e^2x }=2L{sin?3x }+3L{e^2x }
=6/(p^2+9)+3/(p-3)

3. L{sinh?2x-cos?5x }=L{sinh?2x }-L{cos?5x }
=2/(p^2-4)-p/(p^2+25)

4. L{3 cosh??x/2?-1/?x}=3L{cosh??x/2? }-L{1/?x}
=3p/(p^2-1/4)- ?((-1)/2+1)/p^((-1)/2+1)
=12p/(?4p?^2-1)- ?(1/2)/p^(1/2) =12p/(?4p?^2-1)- ?(?/( p ) )
اذا كان L{?(_^)f(x) ?^ }=¯f (p) فاننا سنقبل المبرهنات التالية بدون برهان
1. L{e^(-ax) f(x)}=¯f (p+a)
2. L{x^n f(x)}=(-1)^n d^n/(dp^n ) ¯f (p) ;n=1,2,3,?
3. L{?_0^x?f(u) du}=(¯f (p))/p
4. L{f(x)/x}=?_p^???¯f (u)du? ,موجودة lim?(n?0)??f(x)/x? بشرط

مثال (3) اثبت ان :
1. L{x^3 e^4x }=6/(p+4)^4 2. L{x cos?3x }=(p^2-9)/(p^2+9)^2
3. L{?_0^x??sin?2u du?}=2/p(p^2+4) 4.L{sin?x/x}=tan^(-1)??( 1 )/( p )?
الحل : حسب المبرهنة الاولى 1. L{x^3 e^4x }=¯f (p-4)
وحسب تحويل لابلاس
L{x^n }=?(n+1)/p^(n+1) ? ¯f (p)=?(3+1)/p^(3+1) =3!/p^4 =6/p^4
? L{x^3 e^4x }=¯f (p-4)=6/(p-4)^4
يمكننا حل المثال اعلاه باستعمال المبرهنة الثانية
ويمكن الحل بطريقة ثالثة وذلك باستعمال تعريف تحويل لابلاس ومن ثم اجراء عملية التكامل
(2) L{x cos?3x }=(-1)^ d/dp (p/(p^2+9))=(-1) (p^2+9-p×2p)/(p^2+9)^2 =(p^2-9)/(p^2+9)^2
3. L{sin?2x }=2/(p^2+4) ? ¯f (p)= 2/(p^2+4)
? L{?_0^x??sin?2u du?}=(¯f (p))/p=2/p(p^2+4)
4. lim?(x?0)??sin?x/x?=1 and L{sin?x }=1/(p^2+1) ? ¯f (p)= 1/(p^2+1)
? L{sin?x/x}=?_p^???1/(u^2+1) du?=? ?tan^(-1)?u?^ ?|_0^?=tan^(-1)??-tan^(-1)?p
=?/2-tan^(-1)?p=cot^(-1)?p=tan^(-1)??( 1 )/( p )?