طرق التكامل - التكامل بالتجزئة

طرق التكامل Methods of integration
أولاً : التكامل بالتجزئة : Integration by Parts
إذا كانت كل من v=v(x) و u=u(x) دالتين لـx

فان
هناك طريقتان : الاولى تُسمى طريقة الاسهم وتصلح لتكاملات الدوال
x^n sin??ax ? ,x^n cos??ax ?, ? x^n e^ax??? ?,e^ax cos??bx ? and e^ax sin??bx ?
حيث n?N^+ , a,b ?R
والمثال التالي يوضح هذه الطريقة
مثال (1): جد
1.??x^2 cos?2x dx 2.???x^3 e^2x ? dx 3.???e^3x sin??2x ? ?
الحل :

???x^2 cos?2x dx=x^2×1/2 sin??2x+ 2x?×1/4 cos??2x-? 2×1/8 sin?2x+c
=1/4 (?2 x?^2-1) sin??2x+( x )/2 cos?2x ?+c




???x^3 e^2x ? dx=x^3/2 e^2x-(3x^2)/4 e^2x+6x/8 e^2x-6/16 e^2x+c
=( 1 )/( 8 ) e^2x (4x^3-6x^2+6x-3)+c

???e^3x sin??2x ??dx=-1/2 e^3x cos?2x+3/4 e^3x sin??2x ?-9/4 ???e^3x sin??2x ? dx?+c_1
9/4 ???e^3x sin??2x ? dx?+??e^3x sin??2x ??dx=-1/2 e^3x cos?2x+3/4 e^3x sin??2x ?+c_1
( 9/4+1 ) ??e^3x sin??2x ??dx=-1/2 e^3x cos?2x+3/4 e^3x sin??2x ?+c_1
13/4 ??e^3x sin??2x ??dx=-1/2 e^3x cos?2x+3/4 e^3x sin??2x ?+? c?_1
??e^3x sin??2x ??dx=4/13 e^3x (-( 1 )/2 cos?2x+( 3 )/4 sin??2x ? ) +4/13 ? c?_1
??e^3x sin??2x ??dx=1/13 e^3x ( sin??2x ?-2 cos?2x ) +c


والطريقة الثانية التجزئة الاعتيادية وتصلح لتكاملات الدوال
ln?w , sin^(-1)?w , cos^(-1)?w ,tan^(-1)?w , cot^(-1)?w ,sec^(-1)?w and csc^(-1)?w
حيث w=w(x) وهنا نختار الـ u من الدوال اعلاه وما تبقى يكون dv
والمثال التالي يوضح هذه الطريقة
مثال (2): جد
1.??ln??x dx ? 2. ??sin^(-1)?2x dx 3. ???x sec^(-1)?x ? dx
الحل :
1. u=ln?x and dv=dx
du=dx/x and v=x
???u dv=u v-???v du ??
? ???ln??x dx = ? x ln?x ? –???x.? dx/x
=x ln?x-??dx
=x ln?x-x+c

2. u=sin^(-1)?2x and dv=dx
du=2dx/?(1-4x^2 ) and v=x
???u dv=u v-???v du ??
? ??sin^(-1)?2x dx=x sin^(-1)?2x-???2xdx/?(1-4x^2 ) ?
=x sin^(-1)?2x+1/2 ?(1-4x^2 )+c


3. u=sec^(-1)?x and dv=xdx
du=dx/(x?(x^2-1)) v=1/2 x^2
???u dv=u.v-???v du ??
???x ?sec?^(-1)?x ? dx= 1/2 x^2 sec^(-1)?x-???1/2 x^2 ? dx/(x?(x^2-1))
= 1/2 x^2 sec^(-1)?x-1/2 ??xdx/?(x^2-1)
= 1/2 x^2 sec^(-1)?x-1/2 ?(x^2-1)+c

تمارين واجب
جد الحل للتكاملات التالية :
1.???x ln?x ? dx
2.???x^3 e^3x ? dx
3.??tan^(-1)?x dx
4.??e^2x cos?3x dx
5.??x^3 sin??3x dx?
6.??cos^(-1)??x dx
7.??sec^(-1)??x dx