اجوبة اسئلة الامتحان الشهري الاول / قسم الفيزياء / المرحلة الثانية

اسئلة الامتحان الشهري الاول / قسم الفيزياء / المرحلة الثانية – شعبة A
س1 / جد حل المعادلات التفاضلية التالية (1) 3e^x tan?2y dx+2(1+e^x ) sec^2?2y dy=0
(2) y^ -( 3 )/( x ) y=x^2+3x
(3) 2x^2 y^ -y(2x+y)=0 ; y(e)=e
س2 / وضع جسم درجة حرارته 50? في مختبر درجة حرارته ثابتة وتساوي 100? ، بعد 5 min
اصبحت درجة حرارة الجسم 60? فجد الزمن اللازم لتصل درجة حرارة الجسم الى 75? .
حلول اسئلة الامتحان الشهري الاول / قسم الفيزياء / المرحلة الثانية – شعبة A
س1 /
(1) 3e^x tan?2y dx+2(1+e^x ) sec^2?2y dy=0
(3e^x)/((1+e^x ) ) dx+(2 ?sec?^2?2y)/tan?2y dy=0
3 ln?(1+e^x )+ln?(tan?2y )=ln?c
ln??(1+e^x )^3 ?+ln?(tan?2y )=ln?c
ln??(1+e^x )^3 (tan?2y )?=ln?c
(1+e^x )^3 (tan?2y )=c
(2) y^ -( 3 )/( x ) y=x^2+3x
I.F=e^(??P(x) dx)=e^??((-3)?x)dx=e^ln??x^(-3) ? =x^(-3)=1/x^3
1/x^3 y=??(x^2+3x)/x^3 dx
1/x^3 y=??(1/x+3/x^2 ) dx
1/x^3 y=ln?x-3/x+c
y=x^3 ln?x-3x^2+cx^3
(3) 2x^2 y^ -y(2x+y)=0 ; y(e)=e
راجع مثال (7) في صفحة (5)
2x^2 dy-y(2x+y)dx=0
y=xv ? dy=xdv+vdx
{2x^2 (xdv+vdx)-xv(2x+xv)dx=0 }÷x^2
2xdv+(2v-2v-v^2 )dx=0 ? 2xdv-v^2 dx=0
dv/v^2 -dx/2x=0 ? (-1)/v-1/2 ln?x=c
(-x)/y-1/2 ln?x=c ? 2x/y+ln?x=-2c
الحل العام هو :
y=2x/(k-ln?x ) ; k=-2c
y(e)=e ? e=2e/(k-1) ? k=3
الحل الخاص هو :
س2 / وضع جسم درجة حرارته 50? في مختبر درجة حرارته ثابتة وتساوي 100? ، بعد 5 min
اصبحت درجة حرارة الجسم 60? فجد الزمن اللازم لتصل درجة حرارة الجسم الى 75? .
?dT/dt?^ +kT=kT_(s )
?dT/dt?^ +kT=100k
I.F=e^??kdt=e^kt
e^kt T=??e^kt (100k)dt+c
e^kt T=100e^kt+c ? T=100+ce^(-kt)
ولمعرفة قيمة الثابت c نعوض الشروط الابتدائية t=0 عند T=50
50=100+c ? c=-50
? T=100-50e^(-kt)
ولمعرفة قيمة الثابت k نعوض الشرط t=5 عند T=60
60=100-50e^(-5k)
e^(-5k)=4/5=0.8 ? -5k=ln?0.8=-0.223 ?k=0.044
? T=100-50e^(-0.044t)
75=100-50e^(-0.044t)
e^(-0.044t)=0.5
-0.044t=ln?0.5
t=16 min

اسئلة الامتحان الشهري الاول / قسم الفيزياء / المرحلة الثانية – شعبة B
س1 / جد حل المعادلات التفاضلية التالية (1) 2 y^3 sin?2x dx+3y^2 cos?2x dy=0
(2) y^ -( 2 )/( x ) y=x^2+3x
(3) 2x^2 y^ -y(2x+y)=0 ; y(e)=e
س2 / وضـع جسم درجة حرارته 70? في ثلاجة درجة حرارتها ثابتة وتساوي -20? ، بعد 30 min اصبحت درجة حرارة الجسم 10? فجد الزمن اللازم لتصل درجة حرارة الجسم الى -15? .

حلول اسئلة الامتحان الشهري الاول / قسم الفيزياء / المرحلة الثانية – شعبة B
س1 /
(1) 2 y^3 sin?2x dx+3y^2 cos?2x dy=0
(2 sin?2x)/cos?2x dx+3/y dy=0
-ln?(cos?2x )+3 ln?y=ln?c ? -ln?(cos?2x )+ln??y^3 ?=ln?c

ln??y^3/cos?2x ?=ln?c ? y^3/cos?2x =c

y^3=c cos?2x
(2) y^ -( 2 )/( x ) y=x^2+3x
I.F=e^(??P(x) dx)=e^??((-2)?x)dx=e^ln??x^(-2) ? =x^(-2)=1/x^2
1/x^2 y=??(x^2+3x)/x^2 dx
1/x^2 y=??(1+3/x) dx
1/x^2 y=x+3 ln?x+c
y=x^3+3x^2 ln?x+cx^2
(3) 2x^2 y^ -y(2x+y)=0 ; y(e)=e
2x^2 dy-y(2x+y)dx=0
y=xv ? dy=xdv+vdx
{2x^2 (xdv+vdx)-xv(2x+xv)dx=0 }÷x^2
2xdv+(2v-2v-v^2 )dx=0 ? 2xdv-v^2 dx=0
dv/v^2 -dx/2x=0 ? (-1)/v-1/2 ln?x=c
(-x)/y-1/2 ln?x=c ? 2x/y+ln?x=-2c
الحل العام هو :
y=2x/(k-ln?x ) ; k=-2c
y(e)=e ? e=2e/(k-1) ? k=3
الحل الخاص هو :
س2 / وضـع جسم درجة حرارته 70? في ثلاجة درجة حرارتها ثابتة وتساوي -20? ، بعد 30 min اصبحت درجة حرارة الجسم 10? فجد الزمن اللازم لتصل درجة حرارة الجسم الى -15? .
?dT/dt?^ +kT=kT_(s )
?dT/dt?^ +kT=-20k
I.F=e^??kdt=e^kt
e^kt T=??e^kt (-20k)dt+c
e^kt T=-20e^kt+c ? T=-20+ce^(-kt)
ولمعرفة قيمة الثابت c نعوض الشروط الابتدائية t=0 عند T=70
70=-20+c ? c=90
? T=90e^(-kt)-20
ولمعرفة قيمة الثابت k نعوض الشرط t=30 عند T=10
10=90e^(-30k)-20
?90e?^(-30k)=30 ?? e?^(-30k)=1/3
-30k=?-ln??3 ? k=0.0366
? T=90e^(-0.0366t)-20
-15=90e^(-0.0366t)-20
?90e?^(-0.0366t)=5
e^(-0.0366t)=0.0556
-0.0366t=ln?0.0556
t=79 min