القطوع المخروطية

القطوع المخروطية Conic sections
الدائرة Circle

المعادلة القياسية للدائرة التي مركزها (h,k) ونصف قطرها a هي :
(x-h)^2+(y-k)^2=a^2
والمعادلة العامة لها هي :
x^2+y^2+Ax+By+C=0
h=-A?2 ,k=(-B)?2 ,a=?(h^2+k^2-C) و ثوابت A ,B ,C حيث
ملاحظة : من المعادلة العامة للدائرة نلاحظ ما يلي :
1. معادلة الدائرة لا تحتوي على الحد xy .
2. معامل x^2 يساوي معامل y^2 ويفضل ان يكون واحد
3. يجب ان يكون h^2+k^2-C>0
مثال (1) : جد مركز ونصف قطر الدائرة 1. x^2+y^2+2x-6y+6=0
2. x^2+y^2-10y-11=0
1. h=-2?2=-1 ,k=(-(-6))?2=3 ,a=?((-1)^2+3^2-6)=2 الحل
المركز هو (-1,3) ونصف القطر 2
2. h=0?2=0 ,k=(-(-10))?2=5 ,a=?((0)^2+5^2+11)=6
المركز هو (0,5) ونصف القطر 6

القطع المكافئ Parabola
1. معادلة القطع المكافئ الذي راسه النقطة (h,k) وبؤرته النقطة (h,k+p) هي :
y=k-p دليله ومعادلة x=h المستقبم حول متناظر? (x-h)?^2=4p(y-k)
2. معادلة القطع المكافئ الذي راسه النقطة (h,k) وبؤرته النقطة (h,k-p) هي :
y=k+p دليله ومعادلة x=h المستقبم حول متناظر? (x-h)?^2=-4p(y-k)

3. معادلة القطع المكافئ الذي راسه النقطة (h,k) وبؤرته النقطة (h+p,k) هي :
x=h-p دليله ومعادلة y=k المستقبم حول متناظر? (y-k)?^2=4p(x-h)
4. معادلة القطع المكافئ الذي راسه النقطة (h,k) وبؤرته النقطة (h-p,k) هي :
x=h+p دليله ومعادلة y=k المستقبم حول متناظر? (y-k)?^2=-4p(x-h)

مثال (2) : ناقش وارسم المعادلات التالية :
1. x^2-2x-8y+9=0
x^2-2x+1=8y-8 ? (x-1)^2=8(y-1)
المعادلة تمثل قطع مكافئ رأسه (1,1) ومحور تناظره هو المستقيم x=1
p=2 وبؤرته (1,1+2)=(1,3) ودليله y=1-2=-1

2. x^2+6x+12y-3=0
x^2+6x+9=-12y+12 ? (x+3)^2=-12(y-1)
المعادلة تمثل قطع مكافئ رأسه (-3,1) ومحور تناظره هو x=-3
4p=12?p=3 وبؤرته (-3,1-3)=(-3,-2) ودليله y=1+3=4

3. y^2-4y-6x-8=0
y^2-4y+4=6x+12 ? (y-2)^2=6(x+2)
المعادلة تمثل قطع مكافئ رأسه (-2,2) ومحور تناظره هو y=2
4p=6?p=3?2 وبؤرته (-2+3?2,2)=((-1)?2,2) ودليله x=-2-3?2=-5?2

4. y^2+y+x=0
y^2+y+1?4=-x+1?4 ? (y+1?2)^2=-(x-1?4)
المعادلة تمثل قطع مكافئ رأسه (1?4,(-1)?2) ومحور تناظره هو y=-1?2
4p=1?p=1?4 بؤرته (1?4-1?4,-1?2)=(0,-1?2) ودليله x=1?4+1?4=1?2


القطع الناقصEllipse
اذا كان a>b و c^2=a^2-b^2 فان
1. معادلة القطع الناقص الذي مركزه (h,k) ورؤوسه (h?a,k),(h,k?b) وبؤرتيه (h?c,k) هي :
(x-h)^2/a^2 +(y-k)^2/b^2 =1
المحور الكبير يوازي المحور السيني وعندما k=0 يقع عليه
المحور الصغير يوازي المحور الصادي وعندما h=0 يقع عليه


2. . معادلة القطع الناقص الذي مركزه (h,k) ورؤوسه (h?b,k),(h,k?a) وبؤرتيه (h,k?c) هي :
(y-k)^2/a^2 +(x-h)^2/b^2 =1
المحور الكبير يوازي المحور الصادي وعندما h=0 يقع عليه
المحور الصغير يوازي المحور السيني وعندما k=0 يقع عليه



مثال (3) : ناقش وارسم المعادلات التالية :
1. x^2+4y^2-4x-8y+4=0
x^2-4x+4+4y^2-8y+4=4 ? {?(_^)? (x-2)?^2+4? (y-1)?^2=4 ?^ } ÷4
(x-2)^2/4+(y-1)^2/1=1
المعادلة تمثل قطع ناقص مركزه (2,1)
a^2=4 , b^2=1 ? c^2=3
رأسي المحور الكبير الموازي للمحور السيني (2-2,1)=(0,1) , (2+2,1)=(4,1)
رأسي المحور الصغير الموازي للمحور الصادي (2,1-1)=(2,0) , (2,1+1)=(2,2)
بؤرتاه (2+?3,1) , (2-?3,1)

2. 9 x^2+4y^2-18x+24y+9=0
9 x^2-18x+9+4y^2+24y+36=36? {?(_^)?9 (x-1)?^2+4? (y+3)?^2=36 ?^ } ÷36
(y+3)^2/9+(x-1)^2/4=1
المعادلة تمثل قطع ناقص مركزه (1,-3)
a^2=9 , b^2=4 ? c^2=5
رأسي المحور الكبير الموازي للمحور الصادي (1,-3-3)=(1,-6) , (1,-3+3)=(1,0)
رأسي المحور الصغير الموازي للمحور السيني (1-2,-3)=(-1,-3) , (1+2,-3)=(3,-3)
بؤرتاه (1,-3-?5) , (1,-3+?5)


القطع الزائد Hyparabola
اذا كان a,b?R و a^2+b^2=c^2 فان :
1. معادلة القطع الزائد الذي مركزه (h,k) ورأسيه (h?a,k) وبؤرتيه (h?c,k) هي :
(x-h)^2/a^2 -(y-k)^2/b^2 =1

2. معادلة القطع الزائد الذي مركزه (h,k) ورأسيه (h,k?a) وبؤرتيه (h,k?c) هي :
(y-k)^2/a^2 -(x-h)^2/b^2 =1

مثال (4) : ناقش وارسم المعادلات التالية :
1. 4x^2-y^2+4y-8=0
4x^2-y^2+4y-4-4=0 ? 4x^2-(y-2)^2=4 ÷4
x^2/1-(y-2)^2/4=1
المعادلة تمثل قطع زائد مركزه (0,2)
a^2=1 , b^2=4 ? c^2=5
الرأسان (0+1,2)=(1,2) , (0-1,2)=(-1,2)
البؤرتان (0+?5,2)=(?5,2) , (0-?5,2)=(-?5,2)

2. 4x^2-5y^2-16x+10y+31=0
4x^2-16x+16-5y^2+10y-5+20=0 ? 4(x-2)^2-5(y-1)^2=-20
(y-1)^2/4-(x-2)^2/5=1
المعادلة تمثل قطع زائد مركزه (2,1)

الرأسان (2,1+2)=(2,3) , (2,1-2)=(2,-1)
البؤرتان (2,1+3)=(2,4) , (2,1-3)=(2,-2)


تمارين
ناقش العبارات التالية معززا اجابتك بالرسم
1. x^2+y^2-2x-6y-15=0 2. x^2+y^2-2x-9=0
3. x^2+4x-16y-12=0 4. 5x^2-4y^2+20x+8y-4=0
5. x^2+y^2+4x-2y+5=0 6. ?4x?^2+16y=0
7. 9 x^2-4y^2-36x-24y+1=0 8. 2x^2+2y^2+5y=0
9. 2 x^2+?3y?^2-12x-12y+24=0 10. x^2-2x-9y-8=0
11. 4 x^2+9y^2-24x+18y+9=0 12. 4x^2+5y^2+8x-16=0
13. 4x^2+9y^2-8x-36y+4=0 14. y^2-8x=0
15. 4 x^2-3y^2+8x-6y-11=0 16. x^2-3y^2-4x-6y+4=0
17. 3x^2+2y^2-6=0 18. x^2+6y=0
19. 7x^2+16y^2-112=0 20. y^2-x^2-4=0