التوزيعات الاحتمالية

التوزيعات الاحتمالية Probability Distributions
تكلمنـا عـن بعض مفاهيـم الاحتمالات والتجارب العشوائية وفـي كثير من الأحيان نرغب فـي التعامل مع قيـم عدديـة مرتبطة بنقاط العينة للتجربـة العشوائية بدلا من التعامل مع نقاط العينة نفسها إذ أن نقاط العينة أو النتائج الممكنة للتجربة العشوائية تكون في بعض الأحيان عبارة عن صفات أو مسميات يصعب التعامل معها رياضيا وفي هذه الحالة فإننا نقوم بتحويل هذه القيم الوصفية إلى قيم عددية حقيقية تسمى قيم المتغير العشوائي فالمتغيرات العشوائية تستخدم للتعبير عن نتائج التجربة العشوائية وعن الحوادث بقيم عددية بدلا من المسميات أو الصفات . فعلى سبيل المثال عند رمي قطعة نقود ثلاث مرات متتالية فان فضاء العينة هو
S={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}
قد نكون مهتمين فقط بعدد مرات ظهور الصورة H بغض النظر عن التفصيلات الاخرى ، ان عدد الصور في هذه الحالة هو عبارة عن متغير عشوائي x_i تتغير قيمته بتغير نتيجة التجربة العشوائية وقيم x_i هنا هي
x_i=0,1,2,3
وهناك عدة انواع من المتغيرات العشوائية نذكر منها نوعين : الاول متغيرات عشوائية منفصلة والثاني متغيرات عشوائية متصلة .
التوزيعات الاحتمالية المنفصلة Discrete Probability Distributions
التوزيع الاحتمالي المنفصل هو جدول أو قانون يحتوي على جميع قيم المتغير العشوائي المنفصل مع جميع الاحتمالات المقترنة مع كل قيمة من قيم المتغير المنفصل ويرمز له بالرمز f(x) بحيث ان
f(x)?0 و ??f(x_i ) =1
وتًسمى f(x) دالة الكثافة الاحتمالية (p.d.f ) .
مثال (1) ليكن x تمثل عدد الصور في تجربة رمي قطعة نقود اربع مرات ، جد قانوناً يمثل دالة الكثافة الاحتمالية
ثم احسب P(x=2).
الحل : عدد عناصر فضاء العينة n(S)=2^4=16 ، عدد مرات ظهور الصورة x=4,3,2,1,0
عدد الطرق الممكنة للحصول على الصورة هو n(A)=(?(4@x))
دالة الكثافة الاحتمالية
f(x)=n(A)/n(S) =((?(4@x)))/16
P(x=2)=((?(4@2)))/16=(4!/2!2!)/16=6/16=3/8

القيمة المتوقعة أو التوقع الرياضي :
اذا كان المتغير العشوائـي x يأخـذ القيـم x_1,x_2,…,x_n وباحتمال f(x_1 ),f(x_2 ),…,f(x_n ) فان القيمة المتوقعة لـ x هي
E(x)=x_1 f(x_1 )+x_2 f(x_2 )+?+x_n f(x_n )=?_(i=1)^n??x_i f(x_i ) ?
ملاحظات :
1- ان القيمة المتوقعة هي الوسط الحسابي للمجتمع ? اي
?=E(x)=?_(i=1)^n??x_i f(x_i ) ?
2- التباين للمجتمع هو
?^2=E(x_i-?)^2=?_(i=1)^n??(x_i-?)^2 f(x_i ) ?
مثال (2) من جدول التوزيع الاحتمالي المنفصل التالي احسب الوسط الحسابي والتباين ومعامل الاختلاف للمجتمع

4 3 2 1 0 x_i
0.10 0.25 0.35 0.15 0.15 f(x_i )
الحل :
?=E(x)=?_(i=1)^5??x_i f(x_i ) ?=x_1 f(x_1 )+x_2 f(x_2 )+x_3 f(x_3 )+x_4 f(x_4 )+x_5 f(x_5 )
=0×0.15+1×0.15+2×0.35+3×0.25+4×0.10=2
?^2=E(x_i-?)^2=?_(i=1)^n??(x_i-?)^2 f(x_i ) ?
=(0-2)^2 0.15+(1-2)^2 0.15+(2-2)^2 0.35+(3-2)^2 0.25+(4-2)^2 0.10
=0.60+0.15+0+0.25+0.40=1.4
C.V=?/?×100%=?1.4/2×100%=59.16%