الطرق العددية لحساب التكاملات المحددة

الطرق العددية لحساب التكاملات المحددة
methods for evaluating Definite integrals Numerical
هناك عدة طرق عددية لإيجاد القيمة التقريبية للتكاملات المحددة نعتمد عليها في الحالات :
عند استحالة إيجاد القيمة المضبوطة للتكامل كالتكامل المحدد


عندما تكون عملية إيجاد القيمة المضبوطة للتكامل ممكنة ولكن بمشقة لانّ الدالة قد تكون معقدة وتحتاج
إلى? زمن طويل لإيجاد قيمة التكامل كالتكامل المحدد
قد تكون مسألتنا هي إيجاد مساحة تحت منحن معرّف بجدول قيم (أي أنّ الدالة معرّفة في نقاط معدودة في فترة التكامل) كما هو الحال عند تحليل نتائج التجارب .
ومن هذه الطرق :
أولاً : قاعدة شبه المنحرف Trapezoidal rule
لحساب قيمة التكامل المحدد نقسم الفترة [a,b] إلى? n من الفترات الجزئية المتساوية
الطول فيكون طول كل فترة فتكون قاعدة شبه المنحرف كالآتي :
?_a^b??f(x)dx?h/2? {(_^)f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+?+? ?2f(a+(n-1)h)+f(b)?_^ } ?
مثال (1) جد قيمة التكامل ادناه باستعمال قاعدة شبه المنحرف عندما n=4
?_0^4??x dx
h=(b-a)/n=(4-0)/4=1
?_0^4??x dx?1/2 ((_^)f(0)+2f(0+1)+2f(0+2)+ ?2f(0+3)+f(4)?_^ )
?(=1/2 (?0+2?1+2?2+2?3+?4)=1/2 (4+2×1.4142+2×1.7321)=5.1463)



ثانيا ً: قاعـدة سـمبسـون Simpson s rule
في هذه القاعدة تُقسم الفترة [a,b] إلى? عدد زوجي من الفترات الجزئية المتساوية أي أنّ n عدد زوجي ونص قاعدة سمبسون :
?_a^b??f(x)dx?h/3? {(_^)f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h)+?+? ?4f(a+(n-1)h)+f(b)?_^ } ?

مثال (2) جد قيمة التكامل ادناه باستعمال قاعدة سمبسون عندما n=6
?_0^1?e^?x dx
h=(b-a)/n=(1-0)/6=1/6
?_0^1?e^?x dx?(1/6)/3 {(_^)f(0)+4f(0+1/6)+2f(0+2/6) ?
+? ?4f(0+3/6)+2f(0+4/6)+4f(0+5/6)+f(1)?_^ }
?_0^1?e^?x dx?1/18 {e^?0+4e^?(1/6)+2e^?(1/3)+4e^?(1/2)+2e^?(2/3)+4e^?(5/6)+e^?1 }
=1/18 (1+4× 1.5042+2× 1.7813+4× 2.0281+2× 2.2626+4×2.4915+ 2.7183)
= 1.9945
مثال (3) جد قيمة التكامل ادناه باستعمال
(a) قاعدة شبه المنحرف عندما n=5
(b) قاعدة سمبسون عندما n=6
?_0^(?^2/4)?sin??x dx
(a) h=(?^2/4-0)/5=?^2/20
?_0^(?^2/4)?sin??x dx??^2/40 (sin?0+2 sin??(0+?^2/20)+2 sin??(0+?2??^2/20)+2 sin??(0+(3?^2)/20) +2 sin??(0+?4??^2/20)+sin??(?^2/4) )
?(?(=0.2467(0+2×0.6461+2×0.8379 +2×0.9380+2×0.9863+1)=1.9284@))
(b) h=(?^2/4-0)/6=?^2/24
?_0^(?^2/4)?sin??x dx??^2/72 (sin?0+4 sin??(0+?^2/24)+2 sin??(0+?^2/12)+4 sin??(0+?^2/8) +2 sin??(0+?^2/6)+4 sin??(0+?5??^2/24)+sin??(?^2/4) )
?(?(=0.1372(0+4×0.5982+2×0.7876 +4×0.8960+2×0.9587+4×0.9906+1)=1.9800@))
تمرين : جد قيمة التكامل ادناه باستعمال
(a) قاعدة شبه المنحرف عندما n=5
(b) قاعدة سمبسون عندما n=6

1. ?_0^1?e^(x^2 ) dx 2. ?_1^2?e^x/x dx