التكامل المحدد

التكامل المحدد Definite integral
يُعرّف التكامل المحدد بأنه المساحة الواقعة تحت المنحني y=f(x) وفوق المحور السيني والمحددة بالمستقيمين المتوازيين x=b ,x=a كما موضح في الشكل أدناه







بعض خواص التكامل المحدد
1.?_a^a?f(x) =0
2.?_a^b?f(x) =-?_b^a?f(x)
3.?_a^b?f(x) =?_a^c?f(x) +?_c^b?f(x) ; aمثال (1) جد قيم التكامل المحدد
?_(-1)^1?dx/?(4-x^2 )
الحل :

?_(-1)^1?dx/?(4-x^2 )=? sin^(-1)??x/2? ?|_(-1)^1=sin^(-1)??1/2?-sin^(-1)??(-1)/2?
=sin^(-1)??1/2?+sin^(-1)??1/2?
=2 sin^(-1)??1/2?=2×?/6=?/3
مثال (2) جد قيم التكامل المحدد
الحل :
?_0^2??x ln?(x+2) ? dx
u=ln?(x+2) , dv=xdx
then du=dx/(x+2) and v=x^2/2
? ?_0^2??x ln?(x+2) ? dx=x^2/2 ? ?ln?(x+2)?^(?^?) ?|_0^2-?_0^2??(x^2 dx)/2(x+2) ?




=4/2 ln?4-0-1/2 [?_0^2??(x-2)dx?+?_0^2?4dx/((x+2) )]
=2 ln??4-? 1/2 [x^2/2-2x+4 ln?(x+2) ]_0^2
=4 ln?2-1/2 [4/2-4+4 ln?4-0+0-4 ln?2 ]
=4 ln?2-1/2 [-2+8 ln?2-4 ln?2 ]
=4 ln?2+1-2 ln??2=? 2 ln??2+1?

تمارين
جد قيم التكاملات المحددة التالية
1.?_0^???(1-cos?2x ) dx 2.?_0^(?/10)??(1+cos?5x ) dx 3.?_1^3?dx/(x^2-2x+5)
4.?_3^5?((x^3+1)dx)/(x^3-x) 5.?_1^2??x sec^(-1)?x ? dx 6.?_1^4??sec^(-1) ?x? dx