التكامل

التكامل Integral
يُعرّف التكامل بأنه عكس المشتقة فإذا كانت f(x) أي دالة و F(x) دالة اخرى بحيث ان F^ (x)=f(x) فان الدالة F(x) تسمى تكاملاً غير محدود للدالة f(x) .
تكاملات دوال خاصة :
1.???u^n du=u^(n+1)/(n+1)?+c ;n?1 2.??du/u=ln?|u|+c
3.???sin?u du?=-cos?u+c 4.??cos?u du=sin?u+c
5.???sec^2?u du?=tan?u+c 6.??csc^2?u du=-cot?u+c
7.???sec?u tan?u du?=sec??u+c? 8.???csc?u cot?u du?=-csc?u+c
9.???a^u du?=a^u/ln?a +c ;a>0,a?1 10.??e^u du=e^u+c
11.??du/?(a^2-u^2 )=sin^(-1)??u/a?+c_1=-cos^(-1)??u/a?+c_(2 )
12.???du/(a^2+u^2 )=1/a? tan^(-1)??u/a?+c_1=-1/a cot^(-1)??u/a?+c_2
13.??du/(u ?(u^2-a^2 ))=1/a sec^(-1)??u/a?+c_1=-1/a csc^(-1)??u/a?+c_2
مثال (1) جد
1.???(x+2) ?(x^2+4x+25)? dx=( 1 )/( 2 ) ???2(x+2) ?(x^2+4x+25)? dx
=3/8 (x^2+4x+25)^(4/3)+c
2.??dx/(x(ln?x )^3 )=-1/2 (ln?x )^(-2)+c
3.???x^2 e^sin??x^3 ? cos??x^3 ? ? dx==1/3 ????3x?^2 e^sin??x^3 ? cos??x^3 ? ? dx=e^sin??x^3 ? +c
4.??sec^2??x/?x dx= 2 ??sec^2??x/(2?x) dx=2 tan??x+c
5.??e^x/(1+e^2x ) dx= ??e^x/(1+(e^x )^2 ) dx=tan^(-1)??e^x ?+c
6.??2dx/(x^2+2x+2)=??2dx/(x^2+2x+1+1)=??2dx/((x+1)^2+1)=2 tan^(-1)??(x+1)+c?
7.??sin?2x/(1+cos?2x ) dx=1/2 ??(2 sin?2x)/(1+cos?2x ) dx=1/2 ln?(cos?2x )+c
8.??(2x+9)/(x^2+8x+17) dx=??(2x+8+1)/(x^2+8x+17) dx
=??(2x+8)/(x^2+8x+17) dx+??1/(x^2+8x+16+1) dx
=ln?(x^2+8x+17)+??1/((x+4)^2+1) dx
=ln?(x^2+8x+17)+tan^(-1)?(x+4)+c
9.??dx/?(2x-x^2 )=??dx/?(1-1+2x-x^2 )=??dx/?(1-(1-2x+x^2 ) )
?( =??dx/?(1-(x-1)^2 )=sin^(-1)?(x-1)+c)
تمارين
1.??sin?(ln?x )/x dx 2.??(x sin^(-1)??x^2 ?)/?(1-x^4 ) dx 3.??tan^(-1)?x/(1+x^2 ) dx
4.??cos?x/?(1+sin?x ) dx 5.??dx/?(e^2x-1) 6.??(x+2)dx/(x^2+4x+5)
7.???1-cos??2x/?1+cos??2x dx 8.??dx/(x?(4x^2-1)) 9.??2dx/(x^2+4x+5)
10.??(2-cos?x)/sin^2?x dx 11.??e^ln?(cot^2?x ) dx 12.??(2x+1)dx/(x^2+4x+5)
13.??cos?x/?1+sin?^2?x dx 14.??dx/?(4-25x^2 ) 15.??dx/?(-x^2+4x-1)