حل المعادلات التفاضلية بطريقة فروبنيوس

حل المعادلات التفاضلية بطريقة فروبنيوس
طريقة فروبنيوس Method of Frobenius
في بعض الاحيان يكتشف الباحث في المجالات التطبيقية ان المعادلة التفاضلية التي لديه من العسير حلها بالطرق الاعتيادية وكذلك لا يمكن كتابة الحل بصورة متسلسلة قوى فما على الباحث الا ان يفترض صورة اخرى للحل ( وهو مازال يستعمل المتسلسلات ) وهذه الصورة تُسمى بمتسلسلة فروبنيوس وهي :
y=x^c ?_(n=0)^??a_n x^n ; a_0?0
ومتسلسلة فروبنيوس ذات فعالية بإيجاد حل المعادلات التفاضلية التي بالصورة :
P(x) y^ +Q(x) y^ +R(x)y=0
حيث P(x) ,Q(x) ,R(x) هي كثيرات حدود لـ x . وسنبين طريقة فروبنيوس من خلال الأمثلة التالية :
مثال (1) حل المعادلة التفاضلية التالية 4x y^ +2y^ +y=0
الحل : بفرض ان
y=a_0 x^c+a_1 x^(c+1)+a_2 x^(c+2)+? ; a_0?0
y =ca_0 x^(c-1)+(c+1) a_1 x^c+(c+2) a_2 x^(c+1)+?
y =c(c-1) a_0 x^(c-2)+c(c+1) a_1 x^(c-1)+(c+1)(c+2) a_2 x^c+?
4xy =4c(c-1) a_0 x^(c-1)+4c(c+1) a_1 x^c+4(c+1)(c+2) a_2 x^(c+1)+?
2y^ =2ca_0 x^(c-1) +2(c+1) a_1 x^c +2(c+2) a_2 x^(c+1) +?
y = 0 + a_0 x^c +a_1 x^(c+1) +?
وبمساواة معاملات x المختلفة القوى بالصفر
4c(c-1) a_0+2ca_0=0 ??(1)
4c(c+1) a_1+2(c+1) a_1+a_0=0 ??(2)
4(c+1)(c+2) a_2+2(c+2) a_2+a_1=0 ??(3)
وباعتبار أن a_0?0 فمن المعادلة (1) نحصل على
4c(c-1)+2c=0 ? 4?c ?^2-4c+2c=0 ? 4?c ?^2-2c=0
2c(2c-1)=0 ? c=0 , c=1?2
ومن المعادلة (2) نحصل على :
a_1=(-a_0)/(4c(c+1)+2(c+1) )
ومن المعادلة (3) نحصل على :
a_2=(-a_1)/(4(c+1)(c+2)+2(c+2) )

عندما c=0 فان :
a_1=(-a_0)/2 ,a_2=(-a_1)/12=a_0/24
وبذلك يكون
? y?_1=a_0 (1-x/2!+x^2/4!-x^3/6!+?)=A cos??x
عندما c=1?2 فان :
a_1=(-a_0)/6 ,a_2=(-a_1)/20=a_0/120
وبذلك يكون
? y?_2=a_0 (?x-(?x)^3/3!+(?x)^5/5!-(?x)^7/7!+?)=B sin??x
وعليه فان الحل العام للمعادلة التفاضلية هو: y=A cos??x+B sin??x
مثال (2) جد حل المعادلة التفاضلية x^2 y^ +6xy^ +6y=0 باستعمال طريقة فروبنيوس .
الحل : نفرض أن :
y=a_0 x^c+a_1 x^(c+1)+a_2 x^(c+2)+? ; a_0?0
y^ =c a_0 x^(c-1)+(c+1) a_1 x^c+(c+2) a_2 x^(c+1)+?
y^ =c (c-1) a_0 x^(c-2)+c(c+1) a_1 x^(c-1)+(c+1)(c+2) a_2 x^c+?
x^2 y^ =c (c-1) a_0 x^c+c(c+1) a_1 x^(c+1) +(c+1)(c+2) a_2 x^(c+2)+?
6xy^ =6ca_0 x^c +6(c+1) a_1 x^(c+1)+6(c+2) a_2 x^(c+2) +?
6y = 6a_0 x^c +6a_1 x^(c+1) +6a_2 x^(c+2) +?
وبمساواة معاملات x^c بالصفر ينتج لنا
c (c-1) a_0+6c a_0+6a_0=0 ; a_0?0
? c?^2-c+6c +6=0 ? c^2+5c +6=0
(c+3)(c+2)=0 ? c=-3 ,-2
وبمساواة معاملات x^(c+1) بالصفر نحصل على a_1=0
وبمساواة معاملات x^(c+2) بالصفر نحصل على a_2=0
عندما c=-3 فان y=a_0 x^(-3)=Ax^(-3)
عندما c=-2 فان y=a_0 x^(-2)=Bx^(-2)
y=Ax^(-3)+ Bx^(-2) وعليه فان الحل العام للمعادلة التفاضلية هو
مثال (3) حل المعادلة التفاضلية التالية 9x^2 y^ +3x^2 y^ +2y=0
الحل : نفرض أن :
y=a_0 x^c+a_1 x^(c+1)+a_2 x^(c+2)+? ; a_0?0
y^ =c a_0 x^(c-1)+(c+1) a_1 x^c+(c+2) a_2 x^(c+1)+?
y^ =c (c-1) a_0 x^(c-2)+c(c+1) a_1 x^(c-1)+(c+1)(c+2) a_2 x^c+?
9x^2 y^ =9c (c-1) a_0 x^c+9c(c+1) a_1 x^(c+1)+9(c+1)(c+2) a_2 x^(c+2)+?
3x^2 y^ =0 +3c a_0 x^(c+1) +3(c+1) a_1 x^(c+2) +?
2y =2a_0 x^c +2a_1 x^(c+1) +2a_2 x^(c+2) +?
وبمساواة معامل x^c بالصفر [9c(c-1)+2] a_0=0 ; a_0?0
9c^2-9c+2=0 ? (3c-2)(3c-1)=0 ? c=2?3 , 1?3
وبمساواة معامل x^(c+1) بالصفر
9c(c+1) a_1+3c a_0+2a_1=0 ? [9c(c+1)+2] a_1=-3c a_0
a_1=(-3c)/(9c(c+1)+2) a_0
وبمساواة معامل x^(c+2) بالصفر 9(c+1)(c+2) a_2+3(c+1) a_1+2a_2=0
[9(c+1)(c+2)+2] a_2=-3(c+1) a_1
a_2=(-3(c+1))/(9(c+1)(c+2)+2) a_1
عندما c=2?3 فان :
a_1=(-3×(2?3))/(9(2?3)((2?3)+1)+2) a_0=(-1 )/( 6 ) a_0
a_2=(-3((2?3)+1))/(9((2?3)+1)((2?3)+2)+2) a_1=-5/42 a_1=5/252 a_0
y=a_0 x^(2?3)+a_1 x^(5?3)+a_2 x^(8?3)+?
? y?_1=A(x^(2?3)-( 1 )/6 x^(5?3)+5/252 x^(8?3)-?)

عندما c=1?3 فان :
a_1=(-3×(1?3))/(9(1?3)((1?3)+1)+2) a_0=(-1 )/( 6 ) a_0
a_2=(-3((1?3)+1))/(9((1?3)+1)((1?3)+2)+2) a_1=-4/30 a_1=1/45 a_0
? y?_2=B(x^(1?3)-( 1 )/6 x^(4?3)+1/45 x^(7?3)-?)
y=A(x^(2?3)-1/6 x^(5?3)+5/252 x^(8?3)-?)+B(x^(1?3)-1/6 x^(4?3)+1/45 x^(7?3)-?)
تمارين
جد حل المعادلات التفاضلية التالية باستعمال طريقة فروبنيوس
1. x^2 y^ -2xy^ +2y=0 ans? y=Ax+ Bx^2
2. x^2 y^ +4xy^ +2y=0 ans? y=Ax^(-1)+ Bx^(-2)
3. x^2 y^ +xy^ -9y=0 ans? y=Ax^(-3)+ Bx^3
4. x^2 y^ +4xy^ -10y=0 ans? y=Ax^(-5)+ Bx^2
5. 2xy^ +(x+1) y^ +3y=0
ans?y=A(x^(1?2)-7/6 x^(3?2)+21/40 x^(5?2)-?)+B(1-3x+2x^2-?)
6. x^2 y^ +xy^ +(x^2-1/4)y=0 ans? y=A cos?x/?x+B?x sin?x