الاجوبة النموذجية لاسئلة الامتحان الشهري الاول 27-11-2014

وزارة التعليم العالي والبحث العلمي العام الدراسي 2014 – 2015 الامتحان الشهري الاول
جامعة بابل - كلية العلوم المادة : الرياضيات الفصل الدراسي الاول
رئاسة قسم علوم الكيمياء المرحلة الثانية التاريخ : 27 / 11 /2014
الأجــوبــة النموذجـيــة
س1/ خلال تفاعل كيميائي ، يتم تحويل المادة A إلى مادة B بمعدل زمني يتناسب طردياً مع مربع كمية المادة A ، اذا وضعنا 45 gm عند t=0 من المادة A وبعد ساعتين تبقى منها 4 gm لم تتفاعل . جد معادلة كمية المادة A بدلالة الزمن ، وارسم مخطط لهذه الدالة .
الحل : نفرض ان كمية المادة A y=
dy/dt? y^2 ? dy/dt=k y^2 ? dy/y^2 =kdt
-( 1 )/y=kt+c ? ?(? y=(-1)/(kt+c) ?^ )
y=45 يكون t=0 عند
45=(-1)/( c ) ? c=(-1)/45
y=4 يكون t=2 عند
4=(-1)/(2k-1/45) ? 4=(-1)/((90k-1)/45) ? 4=(-45)/(90k-1)
360k-4=-45 ? k=-41/360
y=(-1)/(-41/360 t-1/45) ? ?( ?y=360/(41t+8)?^ )


س2/ جد الحل الخاص للمعادلة التفاضلية ادناه والذي يحقق الشرط الابتدائي y(1)=0
(y^2-1)dx+(2xy+sin?y )dy=0
الحل :
M=y^2-1 , N=2xy+sin?y
?M/?y=2y and ?N/?x=2y ? ?M/?y=?N/?x
اي ان المعادلة التفاضلية تامة
f(x,y)=??(y^2-1)dx+?(y)=y^2 x-x+?(y)=c
نشتق بالنسبة لـ y فنحصل على 2yx+?^ (y)=N(x,y)
2yx+?^ (y)=2xy+sin?y
?^ (y)=sin?y
?(y)=-cos?y
فيكون الحل العام هو
y^2 x-x-cos?y=c
ولإيجاد الحل الخاص نعوض الشرط الابتدائي y(1)=0
(0)^2×1-1-cos?(0)=c ? c=2
فيكون الحل الخاصy^2 x-x-cos?y=2

س3/ جد الحل العام للمعادلة التفاضلية
y^ - ( 3 )/x y=x^3 sec^2?x
الحل : واضح ان المعادلة التفاضلية خطية حيث
P(x)=-( 3 )/x , Q(x)=x^3 sec^2?x
I.F=e^(??P(x) dx)=e^???-( 3 )/x dx?=e^(-3 ln?x )=e^ln??x^(-3) ? =x^(-3)=1/x^3
فيكون الحل العام :
(I.F) y=??(I.F) Q(x)dx+c
1/x^3 × y=??1/x^3 ×x^3 sec^2?x dx+c
y/x^3 =??sec^2?x dx+c
y/x^3 =tan?x+c
y=x^3 tan?x+cx^3

س4 / جد الحل العام y_h للمعادلات التفاضلية التالية
1. ? y?^ -5y^ +6y=0
m^2-5m+6=0 ? (m-2)(m-3)=0
m_1=2 ,m_2=3 m_1?m_2
y_h=c_1 e^2x+c_2 e^3x
2. ? y?^ +6y^ +9y=0
m^2+6m+9=0 ? (m+3)^2=0
m_1=m_2=-3
y_h=(c_1 x+c_2 ) e^(-3x)
3. ? y?^ -2y^ +5y=0
m^2-2m+5=0
m=(-b±?(b^2-4ac))/2a=(-(-2)±?((-2)^2-4×1×5))/(2×1)=1±2i
y_h=e^x (c_1 sin?2x+c_2 cos?2x )
4. ? 3y?^ -2y^ -5y=0
3m^2-2m-5=0 ? (3m-5)(m+1)=0
m_1=5/3 ,m_2=-1 m_1?m_2
y_h=c_1 e^(5/3 x)+c_2 e^(-x)