العادلات التفاضلية - فصل المتغيرات

االمعادلات التفاضليةDifferential Equations
المعادلة التفاضلية هي علاقة بين المتغير المستقل x والمتغير التابع y(x) وواحدة أو أكثر من المشتقات التفاضلية y^ ,y^ ,? وصورتها العامة هي F(x,y,y^ ,y^ ,?)=0 وهذه تسمى معادلة تفاضلية عادية .
أما إذا كان عدد المتغيرات المستقلة أكثر من واحد وليكن x,y متغيران مستقلان و z(x,y) متغير تابع قابل للاشتقاق بالنسبة للمتغيرين x,y جزئياً ، سميت المعادلة المشتملة على المتغيرات المستقلة والمتغير التابع ومشتقاته الجزئية ، معادلة تفاضلية جزئية وهي على الصورة :G(x,y,z,z_x,z_y,z_xx,z_xy,z_yy,?)=0
حل المعادلة التفاضلية :
تسمى الدالة y=y(x) حلاً للمعادلة التفاضلية F(x,y,y^ ,y^ ,?,y^((n) ) )=0 اذا كانت قابلة للاشتقاق n من المرات وتحقق المعادلة التفاضلية .
مثال (1) اثبت ان الدالة y=c cos?2x هي حلاً للمعادلة التفاضلية y^ +y^ +4y^ +4y=0 .
الحل : يجب علينا ايجاد كل من : y^ ,y^ وy^
y^ =-2c sin?2x , y^ =-4c cos?2x , y^ =8c sin?2x
نعوض المشتقات اعلاه والدالة المعطاة بالمعادلة التفاضلية
y^ +y^ +4y^ +4y=8c sin?2x-4c cos?2x-8c sin?2x+4c cos?2x=0
أي ان y=c cos?2x يمثل حلا للمعادلة التفاضلية
الحل العام والحل الخاص :
الحل العام لمعادلة تفاضلية من الرتبة n ( اعلى مشتقة في المعادلة التفاضلية ) هو حل يحقق المعادلة التفاضلية ويحتوي على n من الثوابت ( نحصل على هذه الثوابت نتيجة تكامل المعادلة التفاضلية n من المرات ) ، أما الحل الخاص فهو الحل الذي يحقق المعادلة التفاضلية ولا يحتوي على ثوابت وقد نحصل عليه احياناً بالتعويض عن الثوابت في الحل العام بقيم محددة .




مثال (2) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية y^ =6x ثم جد الحل الخاص تحت الشروط
y^ (0)=2 ,y(1)=1
الحل : لإيجاد الحل العام للمعادلة التفاضلية المعطاة نكامل مرتين ( بقدر رتبة المعادلة التفاضلية )
y^ =6x
y^ =3x^2+c_1
y=x^3+c_1 x+c_2
هذا هو الحل العام ، ولإيجاد الحل الخاص نستعمل الشروط المعطاة لإيجاد قيم الثوابت
y^ (0)=2
c_1=2
y(1)=3
(1)^3+2(1)+c_2=1
c_2=-2
لذا فان الحل الخاص هو : y=x^3+2x-2
المعادلات التفاضلية من الرتبة الاولى والدرجة الاولى
أي معادلة تفاضلية من الرتبة الاولى والدرجة الاولى تكون بالصيغة :
dy/dx=F(x,y)
او بالصيغة : M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
وهناك عدة طرق لحل مثل هذه المعادلات التفاضلية
أولاً : فصل المتغيرات Separation of Variables
ان أمكن وضع المعادلة التفاضلية بالصيغة f(x)dx+g(y)dy=0حيث f(x) دالة لـ x فقط و g(y) دالة لـ y فقط فان عملية فصل المتغيرات قد تحققت ويكون حل المعادلة التفاضلية هو :
??f(x)dx+??g(y)dy=c