الاجوبة النموذجية للامتحان النهائي - المرحلة الثانية - الدور الثاني

س1 / جد الحل العام للمعادلات التفاضلية التالية :
(A) xy^ +(1+x)y=e^(-x)
y +((1+x))/x y=e^(-x)/x
واضح ان المعادلة التفاضلية خطية وان
P(x)=((1+x))/x=1+( 1 )/x , Q(x)=e^(-x)/x
I.F=e^(??P(x) dx)=e^??(1+( 1 )/x)dx=e^(x+ln?x )=xe^x
(I.F) y=??(I.F) Q(x)dx+c
xe^x y=???xe^x ? e^(-x)/x dx+c
xe^x y=? dx+c
xe^x y=x+c
?( y=e^(-x)+( c e^(-x))/x)
(B) y^ -6y^ +10y=6e^2x
m^2-6m+10=0
m=(-b±?(b^2-4ac))/2a=(-(-6)±?((-6)^2-4*1*10))/(2*1)=3±i
y_h=e^3x (c_1 sin?x+c_2 cos?x )
y_p=Ae^2x ? y_p^ =2Ae^2x ? y_p^ =4Ae^2x
4Ae^2x-12Ae^2x+10Ae^2x=6e^2x
2Ae^2x=6e^2x ? A=3
? y_p=3e^2x
y=y_h+ y_p=e^3x (c_1 sin?x+c_2 cos?x )+3e^2x


س2/ / (A) المعادلة 9 x^2+4y^2-18x+24y+9=0 عبارة عن قطع مخروطي ، ناقش مع الرسم
9 x^2-18x+9+4y^2+24y+36=36
{?(_^)?9 (x-1)?^2+4(y+3)^2=36?^ } ÷36
(y+3)^2/9+(x-1)^2/4=1
المعادلة تمثل قطع ناقص مركزه (1,-3)
a^2=9 , b^2=4 ? c^2=5
رأسي المحور الكبير الموازي للمحور الصادي (1,-3-3)=(1,-6) , (1,-3+3)=(1,0)
رأسي المحور الصغير الموازي للمحور السيني (1-2,-3)=(-1,-3) , (1+2,-3)=(3,-3)
بؤرتاه (1,-3-?5) , (1,-3+?5)









(B) جد حل المعادلة التفاضلية y^ +xy^ +y=0 باستعمال المتسلسلات .
y=a_0+a_1 x+a_2 x^2+a_3 x^3+a_4 x^4+a_5 x^5+?
y^ =a_1+2a_2 x^ +3a_3 x^2+4a_4 x^3+5a_5 x^4+?
y^ =2a_2+6a_3 x^ +12a_4 x^2+20a_5 x^3+?
y^ =2a_2+6a_3 x^ +12a_4 x^2+20a_5 x^3+?
xy^ = 0 +a_1 x +2a_2 x^2 +3a_3 x^3 +?
y= a_0 +a_1 x^ +a_2 x^2 +a_3 x^3+?

2a_2+a_0=0 ? ?( a_2=(-1 )/( 2 ) a_0 )
6a_3+a_1+a_1=0 ? a_3=(-2 )/6 a_1 ? ?( a_3=(-1 )/3 a_1 )
12a_4+2a_2+a_2=0 ? a_4=(-3 )/12 a_2 ? ?( a_4=( 1 )/( 8 ) a_0 )
20a_5+3a_3+a_3=0 ? a_5=( -4 )/20 a_3 ? ?( a_5=( 1 )/( 15 ) a_1 )
y=a_0+a_1 x+(-1 )/( 2 ) a_0 x^2+(-1 )/3 a_1 x^3+(1 )/8 a_0 x^4+( 1 )/( 15 ) a_1 x^5+?
?( y=a_0 (1-( 1 )/( 2 ) x^2+(1 )/8 x^4+?)+ a_1 (x-(1 )/3 x^3+( 1 )/( 15 ) x^5+?) )







س3/(A) جد القيم الذاتية والمتجهات الذاتية للمصفوفة
?I-A=?[?(1&0@0&1)]-[?(1&-1@-3&-1)]=[?(?&0@0&?)]-[?(1&-1@-3&-1)]=[?(?-1&1@3&?+1)]
|?I-A|= (?-1)(?+1)-3=0
?^2-4=0 ? ?=?2 القيم الذاتية
عندما ?=2
[?(?-1&1@3&?+1)][?(x@y)]=[?(0@0)] ? [?(1&1@3&3)][?(x@y)]=[?(0@0)]
x+y=0 ? x=-y
لذا فان المتجه الذاتي هو
X=[?(-m@m)]=m[?(-1@1)]
عندما ?=-2
[?(?-1&1@3&?+1)][?(x@y)]=[?(0@0)] ? [?(-3&1@3&-1)][?(x@y)]=[?(0@0)]
-3x+y=0 ? y=3x
لذا فان المتجه الذاتي هو
X=[?(m@3m)]=m[?(1@3)]








(B) اذا كان A(x,y,z) =[y^2 x tan^(-1)?(3z) ] i+[y^2 z^2 ln?(2-x^2 ) ] j-[xz^3 sin^(-1)?(2y) ] k
?×A فجد
?×A=|?(i&j&k@?/?x&?/?y&?/?z@y^2 x tan^(-1)?(3z)&y^2 z^2 ln?(2-x^2 )&-xz^3 sin^(-1)?(2y) )|
=[-(2xz^3)/?(1-4y^2 )-2y^2 z ln?(2-x^2 ) ]i
-[-z^3 sin^(-1)?(2y)-(?3y?^2 x)/(1+9z^2 )]j
+[(?-2xy?^2 z^2)/(2-x^2 )-2yx tan^(-1)?(3z) ]k













س4/(A) رباعي كلوريد الهافنيوم مركب كيميائي له الصيغة HfCl_4 ويكون على شكل بلورات عديمة اللون .
صف حركة ذرات الكلور في جزيئته معززا اجابتك بالرسم .
لدراسة اهتزازات ذرات الكلور في جزيئة HfCl_4 يجب علينا دراسة الزمرة
D_4={1,r,r^2,r^3 ,s,sr,sr^2,sr^3 }والتي يمكن تمثيلها بمربع .

الـعنصر 1 هو العنصر المحايد الذي يُبقي كل ذرة Cl بمكانها ونعبر عنه بالتباديل بالصورة (1).
الـعنصر r هو عبارة عن دوران ذرات Cl بزاوية ونعبر عنه باستعمال التباديل بالصورة (1 2 3 4)
الـعنصر r^2 هو عبارة عن دوران ذرات Cl بزاوية ? ونعبر عنه باستعمال التباديل بالصورة (1 3)(2 4)
الـعنصر r^3 هو عبارة عن دوران ذرات Cl بزاوية ونعبر عنه باستعمال التباديل بالصورة (1 4 3 2)
العنصر s عبارة عن انقلاب ذراتCl حول المستقيم L_(1 ) ونعبر عنه بالتباديل بالصورة (2 4)
العنصر sr عبارة عن انقلاب ذرات Cl حول المستقيم L_(2 ) ونعبر عنه بالتباديل بالصورة (1 3)
العنصر sr^2 عبارة عن انقلاب ذرات Cl حول المحور X ونعبر عنه بالتباديل بالصورة (1 4) (2 3)
العنصر sr^3 عبارة عن انقلاب ذرات Cl حول المحور Y ونعبر عنه بالتباديل بالصورة (1 2) (3 4)





(B) جد معامل الاختلاف C.V من جدول التوزيع التكراري التالي
الفئات 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59
التكرارات 9 11 20 26 19 15

الفئات f_i x_i f_i x_i |x_i-¯x| (x_i-¯x)^2 ?f_i (x_i-¯x)?^2
30-34 9 32 288 14 196 1764
35-39 11 37 407 9 81 891
40-44 20 42 840 4 16 320
45-49 26 47 1222 1 1 26
50-54 19 52 988 6 36 684
55-59 15 57 855 11 121 1815
المجموع 100 4600 46 2116 5500


¯x=(???f_i x_i ?)/(??f_i )=4600/100=46
S^2=(???f_i (x_i-¯x)^2 ?)/(??f_i -1)=5500/99=55.56
C.V=S/¯x×100%=?55.56/46×100%=16.2%






س5/ (A) اذا كان احتمال شفاء مريض من مرض معين هو 0.7 فاذا دخل المستشفى 6 مرضى مصابين بهذا
المرض فما هو احتمال ان يشفى 5 منهم على الاقل ؟
p=0.7 ,q=0.3 ,n=6
P(x?5)=P(5)+P(6)
=(?(6@5)) (0.7)^5 (0.3)^1+(?(6@6)) (0.7)^6 (0.3)^0
=6!/5!1! (0.7)^5 (0.3)+6!/6!0! (0.7)^6
=0.3025+0.1176=0.4201
( B ) اذا كان x ~ N(5,4) و y=3x+5 فاحسب . P(12?_y=3?_x+5=3×5+5=20
?_y^2=3^2 ?_x^2=9×4=36
y~ N(20 ,36)
z=(y-?)/?
? z?_1=(12-20)/?36=-1.33
? z?_2=(33-20)/?36=2.17
P(12=P(z<2.17)-P(z<-1.33)
=0.9850-0.0918=0.8932