الاجوبة النموذجية للامتحان النهائي - المرحلة الاولى- الدور الثاني

س1/ (A) جد منطلق الدالة . y=log?(x^3-2x^2-x+2)
x^3-2x^2-x+2>0
x^3-x-2x^2+2>0
x(x^2-1)-2(x^2-1)>0
(x^2-1)(x-2)>0
(x-1)(x+1)(x-2)>0
النقاط الحدودية هي x=-1 ,1 ,2
الفترة قيمة x داخل الفترة x^3-2x^2-x+2 قيمة x^3-2x^2-x+2 اشارة
(-??,? -1) -2 -12 سالبة
(-1,1) 0 2 موجبة
(1,2) 1.5 -0.625 سالبة
(2?,? ?) 3 8 موجبة
D=(-1,1)?(2?,? ?)

(B) احسب قيمة الغاية
?lim???(x?0)?? (5-5 cos?x)/(e^x-x-1)?= ?lim???(x?0)?? (5 sin?x)/(e^x-1)?
= ?lim???(x?0)?? (5 cos?x)/e^x =5?






س2/ (A) جد معادلة المماس للمنحني y=?(3t ) , x=- ?(t+1 ) عند . t=3
dx/dt=(-1)/(2?(t+1 )) at t=3 dx/dt=(-1)/(2?(3+1 ))=- ( 1 )/4
dy/dt=3/(2?(3t )) at t=3 dy/dt =3/(2?(3×3 )) =1/2
dy/dx=dy/dt×dt/dx=1/2×( -4 )/1=-2
m=-2 المماس ميل
t=3? x=-2 and y=3 ? (-2,3) التماس نقطة
y-y_1=m (x-x_(1 ) ) هي المماس معادلة
y-3=-2 (x+2) ? ?(?(_^) y+2x+1=0?_^ )

(B) جد ?? f?_(xy ) و f?_yy ,f_xx للدالة . f(x,y)=ln?(2x+2y)+tan?(2x-2y)
f_x=2/(2x+2y)+2 sec^2??(2x-2y) ?=1/(x+y)+2 sec^2??(2x-2y) ?
? f?_xx=(-1)/(x+y)^2 +8 sec^2??(2x-2y) tan?(2x-2y) ?
? f?_xy=(-1)/(x+y)^2 -8 sec^2??(2x-2y) tan?(2x-2y) ?
? f?_y=2/(2x+2y)-2 sec^2??(2x-2y) ?=1/(x+y)-2 sec^2??(2x-2y) ?
? f?_yy=(-1)/(x+y)^2 +8 sec^2??(2x-2y) tan?(2x-2y) ?






س3/ (A) جد قيمة التكامل المحدد
u=ln?(x+2) , dv=xdx then du=dx/(x+2) and v=x^2/2



?_0^2??x ln?(x+2) ? dx=? ??x^2/2 ln??(x+2)?^ ?|_0^2-?_0^2??(x^2 dx)/2(x+2) ?
=4/2 ln?4-0-( 1 )/2 [?_0^2??(x-2)dx?+?_0^2?4dx/((x+2) )]
=2 ln??4-? ( 1 )/2 [x^2/2-2x+4 ln?(x+2) ]_0^2
=4 ln?2-1/2 [4/2-4+4 ln?4-0+0-4 ln?2 ]
=4 ln?2-1/2 [2-4+8 ln?2-4 ln?2 ]=4 ln?2+1-2 ln??2=? 2 ln??2+1 ?

(B) باستعمال دالة كاما احسب قيمة التكامل

?_0^??dx/(?(x ) (1+x) )=?_0^???? x?^(-(1?4) )/(1+x) dx ?
=?_0^???? x?^((3?4)-1)/(1+x) dx ?=( ? )/sin??3?/4? =?/(1/?(2 )) =?(2 ) ?




س4/ (A) جد قيم x التي تجعل المتسلسلة متقاربة .

|a_(n+1)/a_n |=|(ln?x )^(n+1)/(ln?x )^n |=|ln?x |<1 ? -1عندما x=e^(-1) و فان المتسلسلة تصبح ???(ln?(e^(-1) ) )^n=??(-1)^n ? وهي متقاربة
عندماx=e و فان المتسلسلة تصبح ???(ln?(e) )^n=??(1)^n ? وهي متباعدة
وعليه فان قيم x التي تجعل المتسلسلة متقاربة هي e^(-1)?x(B) احسب مجموع المتسلسلة
2/(n+1)(n+2) =A/(n+1)+B/(n+2)
n=-1 ?A=1 and n=-2 ?B=-1
? 2/(n+1)(n+2) =1/(n+1)-1/(n+2)
?_(n=1)^k??2/(n+1)(n+2) =? ?_(n=1)^k??(1/(n+1)-1/(n+2))=? (1/2-1/3)+(1/3-1/4)+?+(1/(k+1)-1/(k+2))
? ? s?_k=1/2-1/(k+2) ? lim?(k??)??s_k ?=lim?(k??) (1/2-1/(k+2))=1/2




س5/ (A) احسب قيمة التكامل الثنائي
?_0^1??_(?y)^(2-?y)?yxdxdy=? ?_0^1??y x^2/2??|_(?y)^(2-?y) dy
=?_0^1??y ×((2-?y-?y))/2? dy
=?_0^1??y (1-?y) ? dy
=?_0^1?? (y-y^(3?2) ) ? dy=? ( 1 )/2 y^2-( 2 )/5 y^(5?2) ?|_0^1
=( 1 )/2-( 2 )/5=( 3 )/10

(B) جد طول قوس الدالة في الفترة [1,3]

dy/dx=x^2-1/(4x^2 ) ? 1+(dy/dx)^2=1+x^4-1/2+1/(16x^4 )
1+(dy/dx)^2=x^4+1/2+1/(16x^4 )=(x^2+1/(4x^2 ))^2 ? ?(1+(dy/dx)^2 )=x^2+1/(4x^2 )
L=?_1^3???(1+(dy/dx)^2 ) dx =?_1^3?(x^2+1/(4x^2 )) dx ?
=? x^3/3-1/4x?|_1^3=9-1/12-1/3+1/4=(108-1-4+3)/12=106/12=53/6