التوزيعات الاحتمالية المستمرة

التوزيعات الاحتمالية المستمرة Continuous Probability Distributions
التوزيع الاحتمالي المستمر هو التوزيع الذي يأخذ فيه المتغير العشوائي x قيماً بين حدين فاذا كانA اي حادث يكون فيه a?x?b فان :
P(A)=?_a^b?f(x) dx

حيث f(x) هي دالة الكثافة الاحتمالية و f(x)?0 و
التوزيع الطبيعي Normal Distribution
ويعتبر من اهم التوزيعات المستمرة وذلك لان معظم الظواهر الطبيعية تخضع له ويمكن لنا تعريف التوزيع الطبيعي كما يلي :
نقول ان المتغير العشوائي x يتوزع توزيعاً طبيعياً بوسط حسابي ?? وتباين?^2 اذا كانت دالة كثافته الاحتمالية
f(x) تأخذ الصيغة الآتية :
f(x)=1/(??2?) e^(- ?(x-?)^2?_ /(2?^(2^ ) ))
حيث ?>0 ,-?إن دالة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي f(x) الذي يتوزع وفق التوزيع الطبيعي x~ N (? ,?^2 ) لها شكل الجرس ومتماثلة حول الوسط الحسابي .

ملاحظات :
1. منحنى دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي متماثل حول الوسط الحسابي .
2. الوسط الحسابي = الوسيط = المنوال .
3. تعتمد دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي على الوسط الحسابي والتباين .
4. المساحة الكلية تحت منحنى دالة الكثافة الاحتمالية للتوزيع الطبيعي تساوي واحد .
الشكل ادناه يوضح دالة الكثافة الاحتمالية لمتغيرين عشوائيين) x_1~ N (?_1 ,?_1^2 ) رُسمت بخطوط متصلة (
وx_2~ N (?_2 ,?_2^2 ) ) رُسمت بخطوط متقطعة )

المساحة تحت المنحني الطبيعي
ان الاحتمال في التوزيعات المستمرة ) ومنها التوزيع الطبيعي ( تُمثل بالمساحات فمثلاً لإيجاد احتمال
P(x_1المحدد أي أن :


Standard Normal Distribution المعياري الطبيعي التوزيع
يقال بأن المتغير العشوائي z يتوزع وفق التوزيع الطبيعي المعياري إذا كان يتوزع وفق التوزيع الطبيعي
بوسط حسابي ?=0 وتباين ?^2=1 ودالة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي تأخذ الصيغة التالية :
f(z)=1/?2? e^(- z^2/2)
وفي هذه الحالة نكتبZ ~ N(0,1)
والشكل ادناه يوضح دالة الكثافة الاحتمالية للمتغير العشوائي z

والآن اصبح من السهولة تحويل المتغيرات العشوائية x التي تتوزع توزيعاً طبيعياً الى متغيرات عشوائية z
تتوزع توزيعاً طبيعياً قياسياً وذلك باستعمال المعادلة التالية :
z=(x-?)/?
مثال ( 6 ) جد P(45?x?62 ) علماً أن N(50,100) x ~ .
الحل :
? z?_1=(x_1-?)/?=(45-50)/?100=-0.5
? z?_2=(x_2-?)/?=(62-50)/?100=1.2
P(45?x?62 )=P(-0.5?z?1.2 )
=P(z?1.2)-P(z?-0.5)=0.8849-0.3085=0.5764


مثال ) 7( ضمن الخطة الاستثمارية لمجلس محافظة بابل تم انشاء معمل لبطاريات السيارات وكان متوسط استهلاك البطارية هو 3 سنة وبمعامل اختلاف مقداره 16% ، ما احتمال ان تستهلك بطارية معينة بأقل من 2 سنة علما أن مدة الاستهلاك تتبع التوزيع الطبيعي .
الحل : لدينا ?=3 , C.V=16%
C.V=?/?×100% ? 16%=?/3×100%
?=(3×16)/100=0.48
اذا رمزنا لاستهلاك البطارية بالرمز x فان احتمال استهلاك البطارية بأقل من سنتين هوP(x<2 )
الآن نحول الى التوزيع الطبيعي القياسي
z=(x-?)/?=(2-3)/0.48=-2.08
P(x<2 )=P(z<-2.08)=0.0188
بعض خواص التوزيع الطبيعي
.1 اذا كان x~ N (?_1 ,?_1^2 ) و y=ax+b فان y~ N (a?_1+b ,?a^2 ??_1^2 )
.2 اذا كان فان w=ax+by+c و x~ N (?_1 ,?_1^2 ) ، y~ N (?_2 ,?_2^2 )
w ~ N (a?_1+b?_2+c ,?? a?^2 ??_1^2+?? b?^2 ??_2^2 )
مثال ) 8( اذا كان x ~ N(5,4)و y=3x+5 فاحسب P(12الحل : أولا يجب ايجاد الوسط الحسابي والتباين للمتغير y
من المعادلة y=3x+5 نحصل على
?_y=3?_x+5=3×5+5=20
?_y^2=3^2 ?_x^2=9×4=36
لهذا نستنتج ان y~ N (20 ,36)
الآن نحول y الى التوزيع الطبيعي القياسي
z=(y-?)/? ? ? z?_1=(12-20)/?36=-1.33 and ? z?_2=(33-20)/?36=2.17
P(12=P(z<2.17)-P(z<-1.33)
=0.9850-0.0934=0.8916


مثال )9 ) اذا كان x ~ N(12,9)و y~ N(8,5) فجد P(w>65) اذا علمت ان w=2x+3y+4
الحل : أولا يجب ايجاد الوسط الحسابي والتباين للمتغير w
من المعادلة w=2x+3y+4 نحصل على
?_w=2?_x+3?_y+4=2×12+3×8+4=52
?_w^2=2^2 ?_x^2+3^2 ?_y^2=4×9+9×5=81
لهذا نستنتج ان w ~ N (52 ,81)
لآن نحول w الى التوزيع الطبيعي القياسي
z=(w-?)/?=(65-52)/?81=1.44
P(w>65)=P(z>1.44)=1-P(z<1.44)=1-0.9236=0.0764

تمارين
1. في احد المزارع التابعة لكلية الزراعة بجامعة القاسم الخضراء اذا كان معدل انتاج الدونم من الحنطة هو 800 Kg وبانحراف معياري قدره 40 Kg ما احتمال ان ينتج دونماً معيناً بين 778 Kg و 834 Kg اذا علمت ان كمية الانتاج تتوزع توزيعاً طبيعياً.
2. اذا علمت ان الوسط الحسابي لدرجات طلاب المرحلة الاولى لاحد الاقسام في كلية العلوم في احد الامتحانات
لمادة الرياضيات هو 75 وبمعامل اختلاف 40% فاذا تم اختيار طالباً منهم عشوائياً فما احتمال ان تكون درجته
(a) أقل من 60
(b) أكبر من 60
(c) واقعة بين 40 و 85
علماً ان درجات الطلاب تتوزع توزيعاً طبيعياً.
3. اذا كان x ~ N(15,25) فجد P(x>18 ) و P(x<13 )
4. اذا كان y=2x+10 و x ~ N(70,4) فجد P(1205. اذا كان w=2x+4y+20 و y ~ N(15,23) ، x ~ N(20,8) فجد
(a) P(w<100 )
(b) P(w>70)
(c) P(80