تطبيقات على التكامل

تطبيقات على التكامل
أولاً : المساحة تحت المنحني
عرّفنا التكامل المحدد بأنه المساحة الواقعة تحت المنحني y=f(x) وفوق المحور السيني والمحددة بالمستقيمين المتوازيين x=b ,x=a كما موضح في الشكل أدناه :




فمثلاً لو أردنا إيجاد المساحة الواقعة بين المنحني y=?x والمحور السيني والمستقيمين x=0 ,x=4 فإنّ المساحة A موضحة في الشكل

مثال (1) جد المساحة المحددة بمنحني الدالة y=4-x^(2 ) والمحور السيني .
الحل: لإيجاد حدود التكامل نقاطع منحني الدالة y=4-x^(2 ) مع المحور السيني y=0
4-x^(2 )=0 ? x=?2
A=?_(-2)^2??(4-x^(2 ) ) ? dx=4x-? x^3/3?|_(-2)^2=?(32/3)

مثال (2) جد المساحة المحددة بمنحني الدالة y=x^(2 ) ln?x والمحور السيني والمستقيمين x=1 ,x=e

لإيجاد قيمة التكامل نستعمل طريقة التجزئة
u=ln?x ,dv=x^(2 ) dx ? du=dx/x , v=x^3/3
A=?_1^e??x^(2 ) ln?x ? dx=(x^3 ln?x)/3-?_1^e??x^3/3 ? dx/x
=(x^3 ln?x)/3-? x^3/9?|_1^e=(e^3 ln?e)/3-e^3/9-ln?1/3+1/9=?((1+2e^3)/9)
_____________________________________________________________
ثانياً : طول القوس
لتكن الدالة y=f(x) مستمرة في الفترة [a,b] فانّ طول قوس الدالة في تلك الفترة هو :
L=?_a^b???(1+(dy/dx)^2 ) dx ? or L=?_(f(a))^(f(b))???(1+(dx/dy)^2 ) dy ?
وإذا كانت y=y(t) و x=x(t) فانّ طول القوس هو :

L=?_(t_1)^(t_2)??((dy/dt)^2+(dx/dt)^2 ) dt


مثال ( 3 ) جد طول قوس الدالة
في الفترة [1,3] .
الحل :
dy/dx=x^2-1/(4x^2 ) ? 1+(dy/dx)^2=1+x^4-1/2+1/(16x^4 )
1+(dy/dx)^2=x^4+1/2+1/(16x^4 )=(x^2+1/(4x^2 ))^2 ? ?(1+(dy/dx)^2 )=x^2+1/(4x^2 )
L=?_1^3???(1+(dy/dx)^2 ) dx =?_1^3?(x^2+1/(4x^2 )) dx ?
=? x^3/3-1/4x?|_1^3=9-1/12-1/3+1/4=(108-1-4+3)/12=106/12=53/6
_____________________________________________________________
مثال ( 4 ) جد طول قوس الدالة y=x^(2/3) في الفترة [0,8] .
الحل :
dy/dx=2/(3?x)
لاحظ هنا عندما x=0 فان لذا يجب أنّ نجد
y^3=x^2 ? x=±y^(3/2) ? dx/dy=±3/2 y^(1/2) ? (dx/dy)^2=9/4 y
x=0 ? y=0 and x=8 ? y=4
L=?_0^4??(9/4 y+1 ) dy=? 4/9 (9/4 y+1)^(3/2)×2/3?|_0^4=8/27 [(10)^(3/2)-1]=8/27 (10?10-1)
____________________________________________________________________







مثال (5) جد طول القوس إذا علمت أنّ منt=0
الحل :
dy/dt=-3 cos^2?t sin??t ? and dx/dt=3 sin^2?t cos?t
?((dy/dt)^2+(dx/dt)^2 )=?(9 cos^4??t sin^2?t ?+9 sin^4??t cos^2?t ? )=3 sin??t cos?t= ? 3/2 sin2??t ?
L=?_0^(?/2)??3/2 sin2??t dt=? (-3)/4 cos?2t ?|_0^(?/2)=(-3)/4 (cos??-cos?0 )= (-3)/4 (-1-1)=3/2 ? ?
تمارين
جد المساحة المحصورة بين منحني الدالة y=2-x^2 والمستقيم x+y=0 .
جد المساحة المحصورة بين منحني الدالة y=2x-x^2 والمحور x .
جد المساحة المحصورة بمنحني الدالة والواقعة في الربع الاول .
جد المساحة المحصورة بين منحني الدالة y=ln?x والمستقيمين . y=1 ,x=1
جد طول قوس الدالة y=1/3 (x^2+2)^(3/2) في الفترة (0,1) .
جد طول قوس الدالة x=(y^4/4)+(1/8y^2 ) من y=1 الى y=2 .
جد طول قوس الدالة y=ln?sec?x في الفترة (0,?/4) .
جد طول قوس الدالة x=t-sin?t , y=1-cos?t من t=0 الى t=?/2 .