الرئيسية  |  القسم الاكاديمي  |  القسم الاعلامي  |  اللوحة الافتراضية  |  القسم الاخباري  |  نظام المحاضرات  |  قسم المعلومات

انت هنا الان : شبكة جامعة بابل > موقع الكلية > نظام التعليم الالكتروني > مشاهدة المحاضرة

التكامل بتجزئة الكسور

الكلية كلية العلوم     القسم قسم الكيمياء     المرحلة 1
أستاذ المادة فؤاد حمزة عبد الشريفي       26/01/2014 19:33:36
ثانياً : التكامل بطريقة تجزئة الكسور : Integrantion by the mothed of partial fractions
إذا كانت f(x) متعددة حدود من الدرجة n و g(x) متعددة حدود من الدرجة m فهنا قسمان :
القسم الاول : اذا كان nالحالة الأولى?: إذا كانت g(x)=(x-r_1 )(x-r_2 )?(x-r_m) حيث ?r_i?R فإنّ :
(f(x))/(g(x))=(f(x))/((x-r_1 )(x-r_2 )?(x-r_m))=A_1/((x-r_1 ) )+A_2/((x-r_2 ) )+?+A_m/((x-r_m ) )
ولإيجاد قيم الثوابت A_1,A_2,?A_m نستخدم طريقة الغطاء وكما يلي :
A_1=f(r_1 )/((x-r_1 )(r_1-r_2 )?(r_1-r_m ) ) فانّ x=r_1 عندما
A_2=(f(r_2))/((r_2-r_1 )(x-r_2 )?(r_2-r_m)) فانّ x=r_2 عندما
?
A_m=(f(r_m))/((r_m-r_1 )(r_m-r_2 )?(x-r_m)) فانّ x=r_m عندما

مثال
(2x+3)/(x^2-4x-12 )=(2x+3)/(x-6)(x+2) =A/((x-6) )+B/((x+2) )
x=6 ? A=(2×6+3)/(x-6)(6+2) =15/8
x=-2 ? B=(2×(-2)+3)/(-2-6)(x+2) =1/8
? (2x+3)/(x^2-4x-12 )=(2x+3)/(x-6)(x+2) =15/(8(x-6) )+1/(8(x+2) )




الحالة الثانية إذا كانت g(x)=?(x-r)?^m فإنّ :
(f(x))/(g(x))=(f(x))/?(x-r)?^m =A_1/?(x-r)?^ +A_2/?(x-r)?^2 +?+A_m/?(x-r)?^m
f(x)/(x-r)^m =(A_1 (x-r)^(m-1)+A_2 (x-r)^(m-2)+?+A_m)/(x-r)^m
f(x)=A_1 (x-r)^(m-1)+A_2 (x-r)^(m-2)+?+A_m
ومنها نجد قيم الثوابت A_1,A_2,?A_m وذلك بمساواة معامل x^m في الطرفين
مثال
(x+2)/(x^2+2x+1)=(x+2)/(x+1)^2 =A/(x+1)^ +B/(x+1)^2 =(A(x+1)+B)/(x+1)^2
? ?x+?(?2)=?Ax+?(?(A+B))
A=1 and A+B=2 ? B=1
?(? (x+2)/(x^2+2x+1)=1/(x+1)^ +1/(x+1)^2 )
الحالة الثالثة : إذا كانت g(x)=(x^2+r_1 )(x^2+r_2 )?(x^2+r_m) ?r_i?R^+ فانّ :
f(x)/g(x) =f(x)/((x^2+r_1 )(x^2+r_2 )?(x^2+r_m ) )=(A_1 x+A_2)/((x^2+r_1 ) )+(A_3 x+A_4)/((x^2+r_2 ) )+?+(A_(2m-1) x+A_2m)/((x^2+r_m))
f(x)=(A_1 x+A_2 )(x^2+r_2 )?(x^2+r_m )+?+(A_(2m-1) x+A_2m )(x^2+r_1 )?(x^2+r_(m-1) )
ومنها نجد قيم الثوابت A_1,A_2,?A_2m وذلك بمساواة معامل x^m في الطرفين
(x^3+3x+1)/(x^4+3x^2+2)=(x^3+3x+1)/(?(x?^2+1)(x^2+2))=(Ax+B)/(?(x?^2+1))+(Cx+D)/((x^2+2)) مثال
=((Ax+B)(x^2+2)+(Cx+D)?(x?^2+1))/(?(x?^2+1)(x^2+2))
? ?(x^3 )+?(?(?3x)) (+1) ?=?(Ax^3 )+?(?(Bx^2 ))+?(?(?2Ax)) (+2B) ?+?(Cx^3 )+?(?(Dx^2 ))+?(?(?Cx)) (+D) ?
A+C=1 and B+D=0
2A+C=3 2B+D=1
وبحل المعادلات الأربع أعلاه نحصل على? :A=2 , C=-1 , B=1 and D=-1
? (x^3+3x+1)/(x^4+3x^2+2)=(2x+1)/(?(x?^2+1))+(-x-1)/((x^2+2))

القسم الثاني : إذا كان n?m فنقسم f(x) على? g(x) بطريقة القسمة المطولة وكما في المثال

x^3/(x^2-2x-3 )

?(?x^3±2x^2±3x )


x^3/(x^2-2x-3 )=x+2+(7x+6)/(x^2-2x-3)
=x+2+A/(x-3)+B/(x+1)
x=3 ? A=(7×3+6)/(3+1)=27/4 and x=-1 ? B=(7×(-1)+6)/(-1-3)=1/4
?(? x^3/(x-3)(x+1) =x+2+27/4(x-3) +1/4(x+1) )
مثال جد
1.??xdx/(x^2+4x-5) 2.??((x+3)dx)/(?2x?^3-8x) 3.???((x^2+3)dx)/(?x^3+3x?^2+3x+1) ?
5.?_3^5?(x^3+1)dx/(x^3-x) 6.??4dx/(x^3+4x) 7.??(x+2)dx/(x^3-x^2 )
8.??(5x^2 dx)/(x^2+1) 9.??(x^4 dx)/(x^2+x-2)

الحل
1. x/(x^2+4x-5)=x/(x-1)(x+5) =A/(x-1)+B/(x+5)
x=1 ? A=1/((1+5) )=(1 )/( 6 ) و x=-5 ? B=(-5)/(-5-1)=5/6
??xdx/(x^2+4x-5)=??dx/6(x-1) +??5dx/6(x+5) =1/6 ln?|x-1|+5/6 ln?|x+5|+c

2. ((x+3))/(?2x?^3-8x)=((x+3))/(2x(x^2-4))=((x+3))/(2x(x-2)(x+2))=A/2x+B/(x-2)+C/(x+2)
x=0 ? A=(0+3)/(0-2)(0+2) =(-3 )/( 4 )
x=2 ? B=(2+3)/(2×2(2+2))=5/16
x=-2 ? C=(-2+3)/(2×(-2)(-2-2) )=1/16
??(x+3)dx/(?2x?^3-8x)=(-3)/( 8) ??dx/x+5/16 ??dx/(x-2)+1/16 ??dx/(x+2)
?( =(-3)/8 ln?|x|+5/16 ln?|x-2|+1/16 ln?|x+2|+c )
3. (x^2+3)/(?x^3+3x?^2+3x+1)=(x^2+3)/(x+1)^3 =A/(x+1)+B/(x+1)^2 +C/(x+1)^3
=(A(x+1)^2+B(x+1)+C)/(x+1)^3
?(x^2 )+?(?(?3))=?(Ax^2 )+?(?2Ax)+?(?(?A))+?(?Bx)+?(?(?B))+?(?(?C))
A=1 , 2A+B=0 ?B=-2 and A+B+C=3 ? C=4
? ???(x^2+3)dx/(?x^3+3x?^2+3x+1)=???dx/(x+1)-???2dx/(x+1)^2 +??4dx/(x+1)^3 ???
?( =ln?|x+1|+2/(x+1)-2/(x+1)^2 +c )

4. (x^3+1)/(x^3-x)=1+(x+1)/(x^3-x)=1+(x+1)/(x(x^2-1))=1+(x+1)/(x(x-1)(x+1))=1+1/(x(x-1))


1/(x(x-1))=A/x+B/((x-1)) ,x=0?A=-1 ,x=1?B=1
??_3^5?((x^3+1)dx)/(x^3-x)=?_3^5?(1-1/x+1/(x-1))dx=x-ln?x+ln??? (x-1)^ ?|_3^5 ?
?( =5-ln?5+ln?4-(3-ln?3+ln?2 )=2+ln?1.2 )
5. 4/(x^3+4x)=4/(x(x^2+4))=A/x+(Bx+C)/(x^2+4)=(A(x^2+4)+(Bx+C)x)/(x(x^2+4))
?4=?(Ax^2 )+?4A+?(Bx^2 )+?(?Cx)
A+B=0 ,4A=4 , C=0 ,A=1 ,B=-1
?(???4dx/(x^3+4x)=??dx/x-??xdx/(x^2+4)=ln??x-1/2? ln?(x^2+4)+c ?)
6. ((x+2))/(x^3-x^2 )=((x+2))/(x^2 (x-1) )=A/x+B/x^2 +C/(x-1)=(Ax(x-1)+B(x-1)+Cx^2)/(x^2 (x-1) )
?x ?(?(+2))=?(Ax^2 ) ?(-Ax) ?(+Bx) ?(?(-B))+?(Cx^2 ) ?A+C=0 ,-A+B=1 ,B=-2
A=-3 , C=3
?( ??(x+2)dx/(x^3-x^2 )=-3??dx/x-2??dx/x^2 +3??dx/(x-1)=-3 ln?|x|+2/x+3 ln?|x-1|+c )






7. (5x^2)/(x^2+1)=5-5/(x^2+1)

??(5x^2 dx)/(x^2+1)=??(5-5/(x^2+1))dx=5x-5 tan^(-1)?x+c
8 . x^4/(x^2+x-2)=x^2-x+3+(-5x+6)/(x^2+x-2)




(-5x+6)/(x^2+x-2)=(-5x+6)/((x-1)(x+2))=A/(x-1)+B/(x+2)
x=1? A=1/3 and x=-2? B=(-16)/3
??(x^4 dx)/(x^2+x-2)=??{x^2-x+3+1/(3(x-1))-16/(3(x+2))} dx
=1/3 x^3-1/2 x^2+3x+1/3 ln??|x-1|-16/3? ln?|x+2|+c ?
تمارين
1.??((x+2)dx)/(x^2-4x-5) 2.??(x+1)dx/(x(x-1)^2 ) 3.??dx/(?x(x?^2+x+1) )
4.??8dx/(x^3+4x^2+4x) 5.??(x^3 dx)/(x^2-2x+1) 6.??(x^5 dx)/(x^4-16)
7.?_(?2)^3?(2x^3 dx)/(x^2-1) 8.?_0^(1?2)?(1+x^2 )dx/?1-x?^2 9.?_0^1?dx/(x+1)(x^2+1)


المادة المعروضة اعلاه هي مدخل الى المحاضرة المرفوعة بواسطة استاذ(ة) المادة . وقد تبدو لك غير متكاملة . حيث يضع استاذ المادة في بعض الاحيان فقط الجزء الاول من المحاضرة من اجل الاطلاع على ما ستقوم بتحميله لاحقا . في نظام التعليم الالكتروني نوفر هذه الخدمة لكي نبقيك على اطلاع حول محتوى الملف الذي ستقوم بتحميله .