سادسا:القيمة المستقبلية للدفعة السنوية

المحاضرة الثانية عشرة
سادسا:القيمة المستقبلية للدفعة السنوية
تكون الدفعة السنوية annuityدفعات متساوية تدفع على فترات ثابتة لعدد معين من الفترات . مثال ذلك تكون
100دينار في نهاية كل من 3سنوات التالية مبلغا سنويا 3سنوات . يعطي الرمز PMTللدفعات والتي يمكن
ان تحدث اما في بداية كل فترة , او في نهايتها فاذا حدثت الدفعات في نهاية كل فترة كما تحدث بصورة تقليدية
يسمى المبلغ السنوي دفعة سنوية معتادة او مؤجلة وتتحدد الدفعات السنوية للسداد القروض العقارية القروض
السيارات او قروض الطلبة كدفعات سنوية معتادة . واذا دفعت الدفعات في بداية كل فترة فيكون المبلغ السنوي
دفعة سنوية مستحقة فتتحدد الدفعات اقساط التأمين كدفعات سنوية مستحقة تقليدية ونظرا لان الدفعات السنوية
المعتادة تكون اكثر شيوعا في التمويل فعند استخدام مصطلح دفعة سنوية ان نفترض ان المدفوعات تحدث في
نهاية كل فترة .
أ-الدفعات السنوية المعتادة ordinary annuities
تتكون الدفعة السنوية المعتادة , او المؤجلة , من سلسلة من المدفوعات المتساوية التي تدفع في نهاية كل فترة اذا
اودعت 100دينار في نهاية كل سنة لثلاث سنوات في حساب توفير يدفع %5فائدة في السنة , كم ستحصل
عليه في نهاية الثلاث سنوات ؟ للاجابة على هذا السؤال , يجب ان نجد القيمة المستقبلية للدفعة السنوية FVAn
يحدث تركيب كل دفعة في نهاية الفترة nويكون حاصل جمع الدفعات المركبة القيمة المستقبلية للمبلغ السنوي .
خط الزمن
Time 0 5% 1 2 3
100 100 100
100(1.05)1 105
100(1.05)2 110.25
__________
FVA3=315.25
نبين هنا خط الزمن المعتاد كجزء علوي من الشكل كما نبين كيفية تركيب كل تدفق نقدي لانتاج FVAفي
الجزء السفلي من الشكل
المعادلةFVAn=PMT((1+?)??1 (
?
= PMT(FVIFAr,n)
((1+0.05)3?1 (
0.05
=100
=100(3.152)
=315.25
ب- الدفعات السنوية المستحقة Annuities
إذا كانت هنالك ثلاث دفعات من 100دينار في المثال السابق تدفع في بداية كل سنة , فيطلق على الدفعة
السنوية اسم الدفعة السنوية المستحقة . وعلى خط زمن يمكن ان ترحلكل دفعة الى اليسار لفترة سنة , لذلك يمكن
تركيب كل دفعى لسنة اضافية واحدة
خط الزمن
Time 0 5% 1 2 3
100 100 100 100
105
110.25
115.76
331.01
مرة اخرى يظهر خط الزمن في الجزء العلوي من الشكل وتحسب القيم بالالة الحاسبة المعتادة وتظهر تحت السنة
3وتحسب القيمة المستقبلية لكل تدفق نقدي وتجمع هذة القيم المستقبلية مع بعضها بعض ليجاد الدفعة السنوية
المستحقة وتحدث المدفوعات مبكرا لذلك يحدث كسب فائدة اكبر ,وعلى هذا تكون القيمة المستقبلية للمبلغ السنوي
المستحق – فهي 331.01دينار مقابل 315.25دينار للمبلغ السنوي المعتاد.
FVAn=PMT((1+?)??1 ( )1 +r) )4-3(المعادلة
?
= PMT(FVIFAr,n)الفرق الوحيد بين المعادلتين اعلاه هو تركيب كل حد في المعدلة الاخيرة لفترة اضافية واحدة مما يعكس الحقيقة
ام كل دفعة سنوية مستحقة تحدث فترة واحدة مبكرة عن نظيراتها للمبلغ السنوي المعتاد.
الحل:
FVAn=100((1+0.005 .05 )3?1 ( )1 +0.05) = 100(3.1525)(1.05)= 331.01.
سابعا:القيمة الحالية للدفعة السنوية
افرض ان لديك البدائل التالية ))1دفعة سنوية لثلاث سنوات بمدفوعات قدرها 100دينار , أو ( )2دفعة اجمالية
اليوم . وانت ليست في حاجة اللى النقود خلال 3سنوات القادمة , لذالك إذا قبلت الدفعة السنوية فسوف تودع
الدفعات في حساب بنكي يدفع فائدة %5في السنة . وبالمثل يمنك ايداع الدفعة الاجمالية في الحساب البنكي .
كم يكون حجم الدفعة الاجمالية اليوم لتتكافأ مع الدفعات السنوية؟
أ-الدفعات السنوية المعتادة:
إذا اتت المدفوعات في نهاية كل سنة ,فتكون الدفعة السنوية دفعة سنوية معتادة , وتتحدد كما يلي :
خط الزمن
Time 0 5% 1 2 3
100 100 100
95.24
90.70
86.38
pVA=272.32
يظهر خط الزمن المعتاد في قمة الشكل, وتظهر قيم الحل العددي في العمود اليسر من الشكل . وتكون
pvللمبلغ السنوي PVA = 272.32دينار
المعادلة فيما يلي المعادلة العامة المستخدمة لحساب PVللدفعة السنوية المعتادة( (
1? 1
(1+?)?
?
VAn=PMT
=PMT(PVIFAr,n)
يكون معامل فائدة القيمة المستقبلية للمبلغ السنوي لقيم rوfuture value interest rate of an n
annuily(FVIFVr,n)
يبين القسم السفلي من خط الزمن الحل العددي محسوبا باستخدام السطر الاول من المعادلة ()3-5حيث حسبت القيمة المستقبلية
لكل تدفق نقدي وجمعت هذه القيم المستقبلية لايجاد fvللدفعات السنوية وهي 272.32دينار واذا كانت الدفعات السنوية كثيرة
فمن الاسهل استخدام المعادلة()5-3
1? 1
(1+0.05)3
?
=100) )
=100(2.7232)=272.32.
ب-الدفعات السنوية المستحقة Annuities Due
اذا حدثت الثلاث دفعات البالغ قيمة كل منها 100دينار في المثال السابق في بداية كل سنة ستكون الدفعة دفعة
سنوية مستحقة ويمكن ان ترحل كل دفعة سنوية واحده الى اليسار , ولذلك تخصم دفعة بسنة واحد اقل وفي ما
يلي خط الزمن :
Time 0 5% 1 2 3
100 100 100
95.24
90.70
PVA = 285.94
مرة اخرى نحسب القيمة المستقبلية لكل تدفع نقدي وتجمع هذه القيم المستقبلية مع بعضها لايجاد FVللدفعة
السنوية المستحقة ويظهر هذا في القسم السفلي من شكل خط الزمن وتزداد PVللمبلغ السنوي المستحق عن
المبلغ السنوي المعتاد لتصبح 258.94مقابل 272.32لحدوث التدفق النقدي قريبا :
)6-3(( ( ) 1+r)
1? 1
(1+?)?
?
VAn=PMT
=PMT(PVIFAr,n) (1+r)
1? 1
(1+0.05)3
?
=100) )(1 + ?. 05)
=100(2.7232)(1+0.05)=285.94.
ثامنا:الدفعات اللانهاية :
تستدعي معظم الدفعات السنوية عمل دفعات خلال فترة زمنية محددة مثال ذلك 100دينار في السنة لمدة ثلاث
سنوات إلا ان بعض الدفعات السنوية تستمر بصورة لا نهاية او أبدية او دائمة Perpetuitiesوتحسب القيمة
الحالية للدفعات للانهاية باستخدام المعادلة ()7-3
=
???
?
PV(Perpetuities)= الدفعة
معدل الفائدة
PV(Perpetuities)=ا0100 .05 =2000
تاسعا:مدفوعات التدفقات النقدية غير المتساوية
يمكن تعريف الدفعة السنوية بانها تدفقات نقدية غير متساوية او غير ثابتة مثال ذلك تدفع الاسهم العادية
مدفوعات متزايدة من خصص الارباح مع مرور الوقت وعادة لا تنتج استثمارات الاصول الثابتة مثل المعدات
الجديدة تدفقات نقدية ثابتة وبالتالي , من الضروري توسيع مناقشتنا للقيمة الزمنية لتشمل التدفقات النقدية الغير
متساوية :