الامثلية في
الانتاج (المزج الامثل لعناصر الانتاج) Optimization in Production
يصل المنتج الى الوضع المتوازي أي انتاج اكبر قدر ممكن
من الناتج بالانفاق المخصص له عندما يصل الى اعلى منحنى انتاج متساوي ممكن بالشروط
المفروضة عليه الخاصة بمقدار ((c واسعار عناصر الانتاج((r,w .
1- عندما يمس خط التكلفة
اعلى منحنى ناتج متساوي حيث ان :-
MTRSL,K = PL(w) = MPL
MPk Pk(r)
فإن شروط تدنية التكاليف ينص على مايلي :-
ميل منحنى الناتج المتساوي = ميل التكلفة المتساوية
ويمكن كتاية القانون السابق بالصيغة الاتية :-
MPL = MPK
w r
أي ان
المنشأة تدني تكلفة انتاج المستوى معين
من الناتج بإستعمال الموارد بشكل تكون معه الانتاجية
الحدية للوحدة الواحدة متساوية بالنسبة لجميع العناصر.
2- عندما تكون دالة التكاليف C=wL +rk
أي ان توازن المنتج عبارة عن الاستخدام الامثل لعناصر
الانتاج من اجل
أ- تعظيم الانتاج ب – تحقيق اقصى ربح ممكن بأقل
تكلفة .
ولغرض توضيح الاسلوب الرياضي للحصول على القيم العظمى
والدنيا لدوال الانتاج نفرض لدينا الدالة الاتية :-
Z= f(x,y)
حيث x,y هما المتغيران المستقلان
ولغرض جعل هذه الدالة عند نهايتها العظمى او الصغرى فإن :-
1- المشتقات الجزئية الاولى
لهذه الدالة يجب ان تساوي صفر أي (الشرط الضروري ).
2- ايجاد المشتقة الجزئية
الثانية للدالة (الشرط الكافي )لأيجاد القيم الحرجة فإذا كانت القيم موجبة هي
نهايات صغرى أي Zxx ,Zyy >0 وسالبة في حالة النهايات
العظمى Zxx,Zyy<0 .
3- ان تكون قيمة حاصل ضرب
المشتقات الجزئية المتقاطعة Zxx*Zyy>(Zxy)
مثال : مصنع
ينتج نوعين من السلع ( y، x ) وكانت دالة أنتاجها على الشكل ألأتي .
7 16 2 2 2 2 32
?? =6?4x
–2?X + 4 x y – 4y + 3?2 y - 1?4
المطلوب
: 1. اوجد مستوى إنتاج كل من السلعتين y , x الذي يحقق أعظم الإرباح
2. تأكد من كون الدالة عند نهايتها
العظمى
3. ماهي أعظم الإرباح .
الحل : 1. نستخرج المشتقات الجزيئة الأولى ونساويها
بالصفر
(( الشرط الضروري ))
? x = 64 –4?x + 4y = 0
? y = 4?x – 8y + 32 = 0
وبجمع المعادلتين نحصل على ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ
96 - 4y
= 0 ?y = 96 = 24 4
? X =
40
2ـ أيجاد
الشرط الكافي المشتقات الجزئية الثانية .
Zxx (?
xx) = - 4< 0
Zyy (?
yy) = - 8 < 0
y
=4 Z x
2 2
Z xx * Z
yy >(Zxy) ?>(-4 ) (-8 ) > ( 4 ) ?> 32 > 16
أي ان الدالة تكون عند نهايتها العظمى عند ?y=24 , ?x = 40
أما أعظم
أرباح فهي
2 2
??? = 64(40)
– 2( 40) +4(40)(24) – 4(24)+ 32(24)- 14
?= 2560
– 3200 + 3840 – 2304+768 – 14
? =
7168 – 5518 = 1650
مثال: أذا
كانت لديك الدالة الآتية:
2 2
Z= 3x
+2y- xy – 4x – 7y +12
أوجد :1ـ
القيم المتطرفة (الحرجة) .
2 ـ أختبر الدالة كونها في نهايتها
العظمى أم الصغرى .
3 ـ أوجد قيمة الدالة عند النقطة الحرجة
.
الحل: 1ـ
نستخرج المشتقات الجزئية الأولى ونساويها بالصفر
الشرط الضروري:
Zx = 6x
–y – 4 = 0}
Zy = 4y
– x – 7 = 0} ضرب المعادلة في 4
24x –
4?y – 16 =0 }
4?y – x
– 7 =0} بالجمع
- ? = 2 ? X ?=1 23x-23=0
2 ـ
نستخرج المشتقات الجزئية الثانية ( الكافي )
Z xx = 670 Zyy = 4 > 0 نهاية
صغرى
2
24 > 1 >?Zxy =
-1 6*4 > (-1)
3 ـ
أستخرج قيمة الدالة عند النقاط الحرجة
Z =3 + 8
– 2 -4 -14 +12
Z? =3 ?