تطبيقات فيزياوية على المعادلات التفاضلية من الدرجة الاولى

تطبيقات فيزيائية Physical Applications
أولاً : مسائل درجة الحرارة
ينص قانون نيوتن للتبريد على ان ( معدل التغير الزمني لدرجة حرارة جسم يتناسب طردياً مع الفرق في درجتي حرارة الجسم والوسط المحيط به ) فاذا كانت T هي درجة حرارة الجسم و T_s هي درجة حرارة الوسط المحيط فان معدل التغير الزمني لدرجة حرارة الجسم ويمكن صياغة قانون نيوتن للتبريد كالآتي :
dT/dt=-k(T-T_s ) ? ?( ?dT/dt?^ +kT=kT_(s ) )
مثال (1) وضعت قطعة معدنية درجة حرارتها 100? في مختبر درجة حرارته ثابتة عند 0? ، بعد 20 min اصبحت درجة حرارة القطعة 50? جد : (1) الزمن اللازم لتصل درجة حرارة القطعة الى 25? .
(2) درجة حرارة القطعة بعد 10 min.
الحل :
dT/dt+kT=kT_(s ) ? dT/dt+kT=0
وهذه معادلة يمكن فصل متغيراتها لتصبح :
dT/T=-kdt
والتي حلها :
ln?T=-kt+c_1 ? T=e^(-kt+c_1 ) ? T=ce^(-kt)
ولمعرفة قيمة الثابت c نعوض الشروط الابتدائية t=0 عند T=100
100=ce^(-k×0) ? c=100
وبهذا يصبح الحل
T=100e^(-kt)
الآن نجد قيمة الثابت k
50=100e^(-20k)? e^(-20k)=1/2 ? -20k=ln??1/2? ? -20k=-ln?2
? k=ln?2/20=0.0347
وبهذا تصبح العلاقة بين درجة حرارة القطعة المعدنية والزمن ( حيث الزمن بالدقائق )
T=100e^(-0.0347t)
الزمن اللازم لتصل درجة حرارة القطعة الى 25? .
25=100e^(-0.0347t) ? e^(-0.0347t)=1/4 ? 0.0347t=ln?4 ?t=40 min
درجة حرارة القطعة بعد عشر دقائق
T=100e^(-0.0347×10)=70.68?
مثال (2) وضـع جسم درجة حرارته مجهولة في ثلاجة درجة حرارتها ثابتة وتساوي -20? ، بعد نصف ساعة اصبحت درجة حرارة الجسم 10? وبعد ساعة اصبحت درجة حرارة الجسم -10? فجد
(1) درجة الحرارة الابتدائية للجسم (2) الزمن اللازم لكي تكون درجة حرارة الجسم -19?
الحل : درجة الحرارة الابتدائية للجسم عند t=0 هي T_0
?dT/dt?^ +kT=kT_(s ) ? ?dT/dt?^ +kT=-20k
واضح ان المعادلة خطية فيها P(t)=k , Q(t)=-20k
لذا فان عامل التكامل
I.F=e^??kdt=e^kt
فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية هو :
(I.F) T=??(I.F) Q(t)dt+c ? e^kt T=??e^kt (-20k)dt+c
e^kt T=-20e^kt+c ? T=-20+ce^(-kt)
عند t=0
T_0 =-20+c ? c=T_0+20 ?(1)
عند t=30
10 =-20+ce^(-30k) ? c=30e^30k ?(2)
عند t=60
-10 =-20+ce^(-60k) ? c=10e^60k ?(3)
بقسمة معادلة (2) على معادلة (3) نحصل على
1=3e^(-30k) ? e^(-30k)=1/3 ? 30k= ln?3 ? k=0.0366
نعوض 30k= ln?3 في المعادلة (2) فنحصل على c=90
T_0 =-20+c ? T_0 =-20+90=70?
وبهذا تصبح العلاقة بين درجة حرارة الجسم والزمن
T=90e^(-0.0366t)-20
الزمن اللازم لكي تكون درجة حرارة الجسم -19?
-19=90e^(-0.0366t)-20 ? e^(-0.0366t)=1/90 ?-0.0366t=-ln?90
t=123 min
ثانياً : مسائل الجسم الساقط
لنعتبر ان جسماً كتلته M ساقطاً من اعلى متأثراً فقط بالجاذبية الارضية g ومقاومة الهواء التي تتناسب طردياً مع سرعة الجسم ، نفرض ان كل من الجاذبية الارضية والكتلة ثابتان وباستعمال قانون نيوتن الثاني للحركة والذي ينص على ان (محصلة القوى المؤثرة على جسم تساوي المعدل الزمني لتغير كمية الحركة مضروباً بالكتلة الثابتة ) أي ان
F=M dv/dt ? (1)
حيث F هي محصلة القوى المؤثرة على الجسم و v هي سرعة الجسم ، كلاهما عند الزمن t
هنا لدينا قوتان تؤثران على الجسم هما الاولى وزن الجسم W=Mg والثانية هي قوة مقاومة الهواء -kv حيث k?0 هو ثابت التناسب والاشارة السالبة هنا لان اتجاه القوة عكس اتجاه السرعة وبالتالي فان محصلة القوى هي
F=Mg-kv ? (2)
من المعادلتين (2) و (1) نحصل على
M dv/dt=Mg-kv
بالقسمة على M نحصل على
?( dv/dt+k/M v=g )
مثال (3) أُسقط جسم ساكن كتلته M=5 kg من ارتفاع 100 m احسب الزمن اللازم لوصوله الى الارض
(1) بفرض عدم مقاومة الهواء (2) اذا كانت مقاومة الهواء kv=(1?8)v حيث v هي سرعة الكرة (m?sec)
(1) dv/dt+k/M v=g ? dv/dt=9.8 ? dv=9.8dt ? v=9.8t+c
بما ان الجسم كان ساكناً لذا عند t=0 تكون v=0 وعليه فان c=0 لذلك فان معادلة الحركة تصبح :
v=9.8t ? ds/dt=9.8t ? ds=9.8t dt ? s=4.9t^2+c_1
بما ان الجسم كان ساكناً لذا عند t=0 تكون s=0 وعليه فان c_1=0 لذلك فان
s=4.9t^2
لذا فان الزمن اللازم لوصول الجسم الى الارض هو
t=?(s/4.9)=?(100/4.9)=4.5 sec
(2) dv/dt+k/M v=g ? dv/dt+1/(8×5) v=9.8 ? dv/dt+0.025v=9.8
والمعادلة التفاضلية الاخيرة يمكن فصل متغيراتها
dv/(9.8-0.025v)=dt ? t=(-1)/0.025 ln?|9.8-0.025v|+c? t=-40 ln?|9.8-0.025v|+c
عند t=0 تكون v=0 وعليه فان
0=-40 ln?9.8+c ? c=91.3
? t=-40 ln?|9.8-0.025v|+91.3 ? ln?|9.8-0.025v|=0.025(91.3-t)
9.8-0.025v=e^0.025(91.3-t) ? v=40(9.8-e^0.025(91.3-t) )
ds/dt=40(9.8-e^0.025(91.3-t) ) ? ds=40(9.8-e^0.025(91.3-t) )dt
s=40 (9.8t+40e^0.025(91.3-t) )+c_1
عند t=0 تكون s=0 لذا
0=40 (9.8×0+40e^0.025(91.3-0) )+c_1 ? c_1=-15681.844
? s=40 (9.8t+40e^0.025(91.3-t) )-15681.844
لايجاد الزمن اللازم لوصول الجسم الى الارض
100=40 (9.8t+40e^0.025(91.3-t) )-15681.844
9.8t+40e^0.025(91.3-t) =394.546 ÷40
0.245t+e^0.025(91.3-t) =9.864
لايجاد قيمة t من المعادلة الاخيرة نعتبر المقدار e^0.025(91.3-t) مقارباُ الى الصفر لوجود الاشارة السالبة قبل t
0.245t=9.864 ? t=40.26 sec
ثالثاً : مسائل الدوائر الكهربائية
تتكون الدائرة الكهربائية البسيطة من مقاومة R بالاوم ومكثف C بالفاراد وحث L بالهنري وقوة دافعة كهربائية ( ق .د .ك ) E بالفولت وبطارية أو مولد متصلين جميعهم على التوالي . يُقاس التيار i بالامبير والشحنة q على المكثف بالكولوم .
وينص قانون كيرشوف على ان ( المجموع الجبري للجهد حول دائرة بسيطة مغلقة يساوي صفر ) .
ومعلوم لدينـا ان فرق الجهد خلال مقاومة هو Ri
و خلال المكثف هو V_c
وخلال الحث هو L(di?dt)

مثال (4) في الدائرة الكهربائية ادناه اذا كان E=20v ,L=10mH ,R=10 ? فجد شدة التيار عند اي لحظة

الحل : بتطبيق قانون كيرشوف للجهد على هذه الدائرة نحصل على
L di/dt+Ri=E ? 10 di/dt+10i=20 ? di/dt+i=2
وهي معادلة تفاضلية يمكن فصل متغيراتها لتصبح :
di/(2-i)=dt ? -ln?|2-i|=t+c
لاحظ انه عندما t=0 فان i=0 وعليه فان c=?-ln???2 ? لذا
ln?|2-i|=(ln?2 )-t ? 2- i=2e^(-t)
أو i=2?-2e?^(-t) وهي شدة التيار عند اي لحظة .
مثال (5) في دائرة التوالي RC ادناه اذا كان المكثف C غير مشحون من الاصل ، قفل المفتاح عند t=0 فجد
شدة التيار عند اي لحظة

الحل : العلاقة بين الجهد عبر المكثف V_c والشحنة عليه q والتيار المار فيه i هي :
q=CV_c
i=dq/dt=C (dV_c)/dt
بتطبيق قانون كيرشوف للجهد على هذه الدائرة نحصل على (Ri+V_c=E )
RC (dV_c)/dt+V_c=E ? (dV_c)/dt+1/RC V_c=(E )/RC
وهذه معادلة تفاضلية خطية عامل تكاملها هو :
e^???1/RC dt?=e^(1/RC t)
e^(1/RC t) V_c=??(E )/RC e^(1/RC t) dt=Ee^(1/RC t)+A
حبث A هو ثابت التكامل ، ومنها نحصل على :
V_c=E+A e^((-1)/RC t)
وبما ان المكثف لم يكن مشحوناً أي انه عندما t=0 فان V_c=0 فيكون A=-E وعليه
V_c=E(1-e^((-1)/RC t) )
ولحساب شدة التيار نشتق المعادلة اعلاه بالنسبة للزمن
i=dq/dt=C (dV_c)/dt=E/R e^((-1)/RC t)
مثال (6) لتكن لدينا الدائرة المينة ادناه حيث القوة الدافعة الكهربائية متناوبة E(t)=E_0 cos???t ?,?=2?f
جد شدة التيار على فرض ان i(0)=0

الحل : بتطبيق قانون كيرشوف للجهد على هذه الدائرة نحصل على
L di/dt+Ri=E_0 cos???t ? ? di/dt+R/L i=E_0/L cos???t ?
عامل التكامل هو : e^(R/L t)
i(t)=e^((-R)/L t) [A+E_0/L ???e^(R/L t) cos???t ? dt?] ?(1)
الآن نجد ???e^(R/L t) cos???t ? dt ?
?(e^(R/L t) and it^ s D.) ?(cos???t ? and it^ s I.)
e^(R/L t) cos???t ?
?R/L e?^(R/L t) 1/? sin???t ?
?R^2/L^2 e?^(R/L t) -1/?^2 cos???t ?
???e^(R/L t) cos???t ? dt= ? e^(R/L t) (1/? sin???t+ ? R/(L?^2 ) cos???t ? )-R^2/(L^2 ?^2 ) ???e^(R/L t) cos???t ? dt ?
(1+R^2/(L^2 ?^2 )) ???e^(R/L t) cos???t ? dt=e^(R/L t) (1/? sin???t+ ? R/(L?^2 ) cos???t ? ) ?
???e^(R/L t) cos???t ? dt=((L^2 ?^2)/(?R^2+L?^2 ?^2 )) e^(R/L t) (1/? sin???t+ ? R/(L?^2 ) cos???t ? ) ?(2) ?
نعوض (2) في (1) فنحصل على
i(t)=E_0/(?R^2+L?^2 ?^2 ) (L? sin???t+ ? R cos???t ? )+Ae^((-R)/L t)
وحيث ان i(0)=0 لذا فان
A=(-RE_0)/(?R^2+L?^2 ?^2 )
? i(t)=E_0/(?R^2+L?^2 ?^2 ) (L? sin???t+ ? R cos???t ?-Re^((-R)/L t) )
تمارين
1. وضع جسم درجة حرارته 50? في مختبر درجة حرارته ثابتة وتساوي 100? ، بعد 5 min اصبحت درجة حرارة الجسم 60? فجد (1) الزمن اللازم لتصل درجة حرارة الجسم الى 75?
(2) درجة حرارة الجسم بعد 20 min
2. سقطت كرة حديدية ساكنة وزنها 1 kg من ارتفاع 3000 m واثناء سقوطها واجهت مقاومة الهواء التي تساوي عدداً (v?8) kg حيث v هي سرعة الكرة (m?sec) جد :
(1) السرعة النهائية للكرة (2) الزمن اللازم لوصول الكرة الى الارض .
3. لتكن لدينا الدائرة المينة ادناه حيث القوة الدافعة الكهربائية متناوبة E(t)=10 cos??50t ?ومقاومتها R=10 ?
ومحاثتها L=10H جد شدة التيار على فرض ان i(0)=0