المعادلات التفاضلية من الدرجة الثانية

المعادلات الخطية ذات المعاملات الثابتة Linear Equations with constant coefficients
وصيغتها العامة a_n y^((n) )+a_(n-1) y^((n-1) )+a_(n-2) y^((n-2) )+?+a_2 y^ +a_1 y^ +a_0 y=f(x)
حيث a_n,a_(n-1),a_(n-2),?,a_2,a_1,a_0 ثوابت
سيكون لهذه المعادلة حلان عام y_h ويعتمد على الطرف الايسر من المعادلة وحل خاص y_p يعتمد على f(x) ويكون حل المعادلة النهائي عبارة عن حاصل جمع الحلين الخاص والعام أي y=y_h+ y_p
لايجاد الحل العام y_h
1. نحول المعادلة الى الصيغة الجبرية
a_n m^n+a_(n-1) m^(n-1)+?+a_2 m^2+a_1 m+a_0=0
2. نجد جذور هذه المعادلة أي m_n,m_(n-1),m_(n-2),?,m_2,m_1
هنا ستكون لدينا ثلاث حالات
الاولى : اذا كانت جذور المعادلة الجبرية أعداد حقيقية مختلفة فان الحل العام هو
y_h=c_n e^(m_n x)+c_(n-1) e^(m_(n-1) x)+?+c_2 e^(m_2 x)+c_1 e^(m_1 x)
مثال (1) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية y^ +y^ -2y=0
الحل : الصيغة الجبرية للمعادلة هي : m^2+m-2=0
(m+2)(m-1)=0 ? m=1 ,m=-2
y_h=c_1 e^x+c_2 e^(-2x)
الثانية : اذا كانت جذور المعادلة الجبرية أعداد حقيقية متساوية فان الحل العام هو
y_h=(c_n x^(n-1)+c_(n-1) x^(n-2)+?+c_2 x+c_1 ) e^mx
مثال (2) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية y^ -4y^ +4y=0
الحل : الصيغة الجبرية للمعادلة هي : m^2-4m+4=0
(m-2)(m-2)=0 ? m=2 ,m=2
y_h=(c_1 x+c_2 ) e^2x
الثالثة : اذا كانت جذور المعادلة الجبرية أعداد خيالية اي m=???i فان الحل العام هو
y_h=e^?x (c_1 sin??x+c_2 cos??x )
مثال (3) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية y^ -2y^ +2y=0
الحل : الصيغة الجبرية للمعادلة هي : m^2-2m+2=0 باستعمال قانون الدستور
m=(-b±?(b^2-4ac))/2a=(-(-2)±?((-2)^2-4*1*2))/(2*1)=1±i
y_h=e^x (c_1 sin?x+c_2 cos?x )

الجدول التالي يوضح الحل العام y_h للمعادلة التفاضلية ay^ +by^ +cy=0
الحل العام
y_h جذور المعادلة الجبرية
m_1 ,m_2
المميز
b^2-4ac
y_h=c_1 e^(m_1 x)+c_2 e^(m_2 x)
m_1 ?m_2 b^2-4ac>0
y_h=(c_1 x+c_2 ) e^mx
m_1=m_2 b^2-4ac=0
y_h=e^?x (c_1 sin??x+c_2 cos??x )
m=?±?i b^2-4ac<0
لايجاد الحل الخاص y_p
يعتمد الحل الخاص y_p على الدالة f(x)
والجدول التالي يوضح y_p للمعادلة التفاضلية ay^ +by^ +cy=f(x)
الحل الخاص y_p ملاحظات الدالة f(x)
A_n x^n+A_(n-1) x^(n-1)+?+A_2 x^2+A_1 x+A_0 n?0 ax^n
Ae^rx r?m_1?m_2 ae^rx
A?xe?^rx r=m_1 or r=m_2
Ax^2 e^rx r=m_1=m_2
A_1 sin?kx+A_2 cos?kx k?? a sin?kx
or
a cos?kx
x(A_1 sin?kx+A_2 cos?kx ) k=?

في المعادلة التفاضلية . y_p , y_p^ , y_p^ ثوابت نجدها بتعويض A_n,A_(n-1),A_2,A_1,A_0,A حيث




مثال (4) جد حل المعادلة التفاضلية y^ -2y^ -15y=3x^2+1
الحل : نجد y_h
m^2-2m-15=0 ? (m-5)(m+3)=0 ?? m?_1=5 ,? m?_1=-3
y_h=c_1 e^5x+c_2 e^(-3x)
الآن نجد y_p=Ax^2+Bx+C
y_p^ =2Ax+B ? y_p^ =2A
نعوض بالمعادلة التفاضلية2A-2(2Ax+B)-15(Ax^2+Bx+C)=3x^2+1
?(-15A) x^2 ?(?(- (4A+15B) )) x+?(?(?((2A-2B-15C) )))=?3 x^2+?(?0).x+?(?(?1))
-15A=3 ? ?( A=-( 1 )/( 5 ))
- (4A+15B)=0 ? - ((-4)/5+15B)=0 ? ?(B=4/75)
2A-2B-15C=1 ? -2/5-4/75-15C=1 ??(C=109/75)
y_p=-( 1 )/( 5 ) x^2+4/75 x+109/75
y=y_h+ y_p=c_1 e^5x+c_2 e^(-3x)-( 1 )/( 5 ) x^2+4/75 x+109/75
مثال (5) جد حل المعادلة التفاضلية y^ -3y^ +2y=?2e?^3x
الحل : m^2-3m+2=0 ? (m-2)(m-1)=0 ? m=2 ,m=1
m_1?m_2
y_h=c_1 e^2x+c_2 e^x
r=3?m_1?m_2
y_p=Ae^3x ? y_p^ =3Ae^3x ? y_p^ =9Ae^3x
9Ae^3x-9Ae^3x+2Ae^3x=2 ? 2Ae^3x=2 ? A=1
? y_p=e^3x
y=y_h+ y_p=c_1 e^2x+c_2 e^x+e^3x



مثال (6) جد حل المعادلة التفاضلية y^ -2y^ +y =?2e?^x
الحل : m^3-2m^2+m=0 ? m (m^2-2m+1)=0 ? m(m-1)^2=0
m=0 ,m=1 ,m=1
m_2=m_3=1
y_h=c_1 e^(0.x)+(c_2 x+c_3 ) e^x=c_1+(c_2 x+c_3 ) e^x
r=m_2=m_3=1
y_p=Ax^2 e^x ? y_p^ =A?x^2 e?^x+2Axe^x
? y_p^ =A?x^2 e?^x+2Axe^x+2Axe^x+2Ae^x=A?x^2 e?^x+4Axe^x+2Ae^x
y_p^ =A?x^2 e?^x+2Axe^x+4Axe^x+4Ae^x+2Ae^x=A?x^2 e?^x+6Axe^x+6Ae^x
A?x^2 e?^x+6Axe^x+6Ae^x-2(A?x^2 e?^x+4Axe^x+2Ae^x )+A?x^2 e?^x+2Axe^x=?2e?^x
?4Ae?^x=?2e?^x ? A=1/2
y_p=1/2 x^2 e^x
y=y_h+ y_p=c_1+(c_2 x+c_3 ) e^x+1/2 x^2 e^x=c_1+(c_2 x+c_3+1/2 x^2 ) e^x
مثال (7) جد حل المعادلة التفاضلية y^ -y^ -6y=?10e?^3x بالشروط y(0)=y^ (0)=0
الحل : m^2-m-6=0 ? (m+2) (m-3)^ =0 ? m=-2 ,m=3
m_1?m_2
y_h=c_1 e^(-2x)+c_2 e^3x
r=m_2=3 ? y_p=Axe^3x ? y_p^ =3Axe^3x+Ae^3x and y_p^ =9Axe^3x+6Ae^3x
9Axe^3x+6Ae^3x-3Axe^3x-Ae^3x-6Axe^3x=?10e?^3x
5Ae^3x=?10e?^3x ? A=2
y_p=2xe^3x
y=y_h+ y_p=c_1 e^(-2x)+c_2 e^3x+2xe^3x=c_1 e^(-2x)+(c_2+2x) e^3x
y(0)=0 ? c_1+c_2=0 ?(1)
y^ =-2c_1 e^(-2x)+3c_2 e^3x+6xe^3x+2e^3x
y^ (0)=0 ? -2c_1+3c_2+2=0 ?(2)
(1) and (2) ? c_1=2?5 ,c_2=(-2)?5
? y=2/5 e^(-2x)+(2x-2/5) e^3x
مثال (8) جد حل المعادلة التفاضلية y^ -2y^ +5y=20cos??x ?
الحل : m^2-2m+5=0
m=(-b±?(b^2-4ac))/2a=(-(-2)±?((-2)^2-4*1*5))/(2*1)=1±2i
y_h=e^x (c_1 sin?2x+c_2 cos?2x )
?=2 ,k=1 ,??k
y_p=A sin?x+B cos?x ? y_p^ =A cos?x-B sin?x ? y_p^ =-A sin?x-B cos?x
-A sin?x-B cos?x-2(A cos?x-B sin?x )+5(A sin?x+B cos?x )=20 cos?x
(-A+2B+5A) sin?x+(-B-2A+5B) cos?x=20 cos?x
2B+4A=0 and -2A+4B=20 ? A=-2 ,B=4
y_p=-2 sin?x+4 cos?x
y=y_h+ y_p=e^x (c_1 sin?2x+c_2 cos?2x )-2 sin?x+4 cos?x
مثال (9) جد حل المعادلة التفاضلية y^ -6y^ +10y=6e^2x بالشروط y(0)=0 ,y^ (0)=2
الحل : m^2-6m+10=0
m=(-b±?(b^2-4ac))/2a=(-(-6)±?((-6)^2-4*1*10))/(2*1)=3±i
y_h=e^3x (c_1 sin?x+c_2 cos?x )
y_p=Ae^2x ? y_p^ =2Ae^2x ? y_p^ =4Ae^2x
4Ae^2x-12Ae^2x+10Ae^2x=6e^2x
2Ae^2x=6e^2x ? A=3
? y_p=3e^2x
y=y_h+ y_p=e^3x (c_1 sin?x+c_2 cos?x )+3e^2x
y(0)=0 ? 0=1(c_1*0+c_2*1)+3 ? c_2=-3
y^ =e^3x (c_1 cos?x-c_2 sin?x )+3e^3x (c_1 sin?x+c_2 cos?x )+6e^2x
y^ (0)=2 ? 2=1(c_1*1-(-3)*0)+3*1(c_1*0+(-3)*1)+6*1 ? c_1=1
y=e^3x (sin?x-3 cos?x )+3e^2x

مثال (10) جد حل المعادلة التفاضلية y^ +y=4sin??x ?
الحل : m^2+1=0 ? m=±i
y_h=c_1 sin?x+c_2 cos?x
k=?=1
y_p=Ax sin?x+Bx cos?x
y_p^ =Ax cos?x+A sin?x-Bx sin?x+B cos?x
y_p^ =-Ax sin?x+A cos?x+A cos?x-Bx cos?x-B sin?x-B sin?x
=-Ax sin?x+2A cos?x-Bx cos?x-2B sin?x
-Ax sin?x+2A cos?x-Bx cos?x-2B sin?x+Ax sin?x+Bx cos?x=4sin??x ?
2A cos?x-2B sin?x=4sin??x ? ? A=0 and -2B=4 ? B=-2
y_p=-2x cos?x
y=y_h+ y_p=c_1 sin?x+c_2 cos?x-2x cos?x
تمارين
أولاً : جد حل المعادلات التفاضلية التالية
1. y^ -5y^ +6y=3x 6. y^ +4y^ +3y=5e^2x
2. y^ +y^ +y=e^3x 7. y^ -6y^ +5y=x^2+2x
3. 3 y^ +y^ -14y=2e^x 8. y^ +?5y?^ +6y=e^3x+e^(-2x)
4. y^ -2y^ +y=3cos??4x ? 9. y^ +2y^ +10y=25x^2-3e^(-x)
5. y^ -6y^ +9y=e^3x 10. y^ +2y^ +y=cos^2?x
11. y^ +4y^ +5y=20e^x ; y(0)=y^ (0)=0
12. y^ +4y^ +3y=4e^(-x) ; y(0)=0 and y^ (0)=2
ثانياً : املأ الخلايا الفارغة بالجدول ادناه بما يناسبها
الحل العام للمعادلة m_2 m_1 المعادلة التفاضلية ذات المعاملات الثابتة
? y?^ -5y^ -6y=0
? y?^ +4y^ +4y=0
? y?^ -2y^ +5y=0
? 3y?^ -2y^ +5y=0