المعادلة التفاضلية الخطية و معادلة برنولي

رابعاً : المعادلة التفاضلية الخطية Equation Linear Differential
الصيغة العامة للمعادلة التفاضلية الخطية هي y^ +P(x)y=Q(x)
ولحل هذه المعادلة نجد عامل التكامل I.Fمن القاعدة التالية
I.F=e^(??P(x) dx)
فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية الخطية هو :
(I.F) y=??(I.F) Q(x)dx+c
مثال (10) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية xy^ =x^4-y
الحل : نرتب المعادلة بالصيغة :
y^ +1/x y=x^3
واضح ان المعادلة التفاضلية خطية وان P(x)=(1?x) , Q(x)=x^3
I.F=e^(??P(x) dx)=e^??(1?x)dx=e^ln?x =x
فيكون الحل العام :
xy=???x.x^3 dx?+c=???x^4 dx?+c
? x y=x^5/5+c ? y=x^4/5+c/x
مثال (11) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية (x^2+x)dy-(x^2+2xy+y)dx=0 ثم جد الحل الخاص
الذي يحقق y(1)=3 .
الحل : نرتب المعادلة بالصيغة :
dy/dx-(x^2+2xy+y)/(x^2+x)=0
dy/dx-(2x+1)/(x^2+x) y=x^2/(x^2+x)
واضح ان المعادلة التفاضلية خطية و
P(x)=-(2x+1)/(x^2+x) , Q(x)=x^2/(x^2+x)=x/(x+1)
I.F=e^(??P(x) dx)=e^???-(2x+1)/(x^2+x) dx?
I.F=e^(-ln?(x^2+x) )=e^ln??(x^2+x)^(-1) ? =1/((x^2+x) )
فيكون الحل العام هو
y/((x^2+x) )=???1/((x^2+x) ).x/(x+1)? dx+c

y/((x^2+x) )=??1/(x+1)^2 dx+c
? y/x(x+1) =-1/(x+1)+c
? y=-x+(x^2+x)c
ولايجاد الحل الخاص نعوض x=1 ,y=3 لمعرفة قيمة c
3=-1+(1+1)c ? c=2
فيكون الحل الخاص
y=-x+2(x^2+x) ? y=2x^2+x
تمارين
جد الحل العام للمعادلات التفاضلية التالية ثم حد الحل الخاص اذا اعطي شرطاً ابتدائياً
1. (x^2+1)y +xy=?(x^2+1)/x
2. y +y tan?x=sec?x ; y(?/4)=?2
3. x^2 y^ -2xy=x^4+3 ; y(1)=2
4. x dy/dx+3y=sin?x/x^2 ; y(0)=2
5. xy +(1+x)y=e^(-x)







خامساً : معادلة برنولي Equation Bernolli s
الصيغة العامة لمعادلة برنولي هي y^ +P(x)y=Q(x) y^n حيث n?N ,n?2
ولحل المعادلة التفاضلية بهذه الصيغة نستعمل الفرضية z=y^(1-n) فيكون
dz/dx=(1-n) y^(-n) dy/dx ? dy/dx=y^n/(1-n) dz/dx
وبالتعويض في معادلة برنولي نحصل على
dz/dx+(1-n)P(x)z=(1-n)Q(x)
وهي معادلة تفاضلية خطية بالمتغير z
مثال (12) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية 3xy^ +y+x^2 y^4=0
الحل : نرتب المعادلة بالصيغة :
y^ +1/3x y=(-x)/3 y^4
نفرض z=y^(-3) ومنها نحصل على :
dz/dx=-3y^(-4) y^ ? y^ = (-1)/3 y^4 dz/dx
بالتعويض بالمعادلة التفاضلية المعطاة ينتج :
(-1)/3 y^4 dz/dx+1/3x y=(-x)/3 y^4
بالضرب بـ -3y^(-4) تصبح المعادلة :
dz/dx-1/x y^(-3)=x or dz/dx-1/x z=x
والاخيرة معادلة تفاضلية خطية بالمتغير z
I.F=e^??((-1)?x)dx=e^?-ln??x =e^ln?(1?x) =1/x
?z/x=???1/x .x dx?+c=??dx+c=x+c
z=x^2+cx
y^(-3)=x^2+cx
فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية :
y^3=(x^2+cx)^(-1)


مثال (13) جد الحل العام للمعادلة التفاضلية y^ +(1?x)y=y^2 ln?x ثم جد الحل الخاص الذي يحقق
y(1)=1 .
z=y^(-1) ? dz/dx=-y^(-2) dy/dx ? y^ =-y^2.dz/dx
بالتعويض بالمعادلة التفاضلية المعطاة ينتج :
dz/dx-1/x z=-ln?x
I.F=e^??((-1)?x)dx=e^?-ln??x =e^ln?(1?x) =1/x
? ( z )/x=????-ln??x/x dx?+c=-1/( 2 ) (ln?x )^2+c
فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية :
y^(-1)==-x/( 2 ) (ln?x )^2+c x
y(1)=1 ? c=1
فيكون الحل الخاص
y=2/(2x-x(ln?x )^2 )
تمارين
جد الحل العام للمعادلات التفاضلية التالية ثم حد الحل الخاص اذا اعطي شرطاً ابتدائياً
1. 2y +y=y^3 (x-1)
2. x^2 y^ =y^2+xy
3. 2y-3y =y^4 e^3x
4. y^ +y=?12e^2x y?^2 ; y(0)=1
5. y^ +2/x y=-x^9 y^5 ; y(-1)=2