انت هنا الان : شبكة جامعة بابل > موقع الكلية > نظام التعليم الالكتروني > مشاهدة المحاضرة

Ordinary differential equation of first order

Share |
الكلية كلية الهندسة     القسم  الهندسة المدنية     المرحلة 2
أستاذ المادة سامر عبد الامير عباس المشهدي       08/10/2018 16:51:00
Ordinary Differential Equation of first Order
Separable firs order Diff. Equ.
Homogeneous firs order Diff. Equ.
Exact firs order Diff. Equ.
Linear firs order Diff. Equ.

1-Separable firs order Diff. Equ.
1- f(x) dx = g(y) dy
?f(x) dx = ?g(y) dy +c
اي ان دالة (×) منفصلة عن دالة (y).
2- f(x) G(y) dx = F(x) g(y) dy
هنالك دمج بين الدالتين ولفصل المتغيرات نحتاج الى قسمة الطرفين على دالتي F,G فنحصل على:
f(x)/F(x) dx= g(y)/G(y) dy
ويشترط هنا ان تكون F(x)?0 & G(y)?0
??f(x)/F(x) dx=??g(y)/G(y) dy+c
3- dy/dx=M(x) N(y)
d(y)/N(y) = M(x) dx N?0
?d(y)/N(y) = ?M(x) dx +c
ex:
Solve the diff. equ. dx + xy dy = y2 dx + y dy
and then find a particular solution when the curve passes through the point (-7/5 , 13/5).
dx + xy dy = y2 dx + y dy
(1-y2) dx = y (1-x) dy
dx/(1-x) = y/(1-y2) dy
1-x ? 0 ? x ? 1
1-y2 ? 0 ? y ? ±1
عدا هذه القيم تصح المعادلة لجميع القيم ولجميع الحالات. لتبسيط الحل نضرب الطرفين ×-2
(-2dx)/(1-x)=(-2y)/(1-y^2 ) dy
2lin|1-x| = lin|1-y2| + c
Lin (1-x)2 = lin|1-y2| + c
Lin (1-x)2/|1-y2| = c
(1-x)2/|1-y2| = ec = k2أي دالة وتربع لتبقى موجبة k
(1-x)2/(1-y2) = ±k2 =?? جميع القيم الحقيقية الموجبة والسالبة
[(x-1)2/?] + y2 = 1 ??0
هذا حل عام وهو يحتوي على ثابت اختياري واحد.
لنتصور ان (1=?( فالدالة تمثل دائرة نصف قطرها واحد ومركزها النقطة (1,0)
?>0 ? ellipses, ?<0 ? hyperbolas
كل هذه الحلول هي حلول خاصة ممكنة, والحل الخاص لهذا السؤال هو:
(-7/5-1)^2/?+(13/5)^2=1??=-1
So the solution is:
y2 = 1 + (x-1)2
When x=1
(1-y2) dx = y (1-x) dy
(1-y2) dx/dy = y (1-1) = 0
dx/dy = 0
لذلك يتوفر حل وهو خط شاقولي يمر ب x=1 وهو حل شاذ.
When y=±1
y=1? (1-y2) dx = y (1-x) dy
(1-1) = 1 (1-x) dy/dx
= (1-x) dy/dx
dy/dx = 0
لذلك الحل خط مستقيم y=1 وهو ايضاً حل شاذ.
y= -1? (1-1) dx = - (1-x) dy
dy/dx = 0 وهو ايضاً حل شاذ
الحل العام استنفذ جميع قيم ? عدا الصفر, وعند التعويض عن ?=0 سنجد له حل خاص.
لو لم تكن لدينا حلول شاذة لكان حل المعادلة هو حل تام


المادة المعروضة اعلاه هي مدخل الى المحاضرة المرفوعة بواسطة استاذ(ة) المادة . وقد تبدو لك غير متكاملة . حيث يضع استاذ المادة في بعض الاحيان فقط الجزء الاول من المحاضرة من اجل الاطلاع على ما ستقوم بتحميله لاحقا . في نظام التعليم الالكتروني نوفر هذه الخدمة لكي نبقيك على اطلاع حول محتوى الملف الذي ستقوم بتحميله .
download lecture file topic