انت هنا الان : شبكة جامعة بابل > موقع الكلية > نظام التعليم الالكتروني > مشاهدة المحاضرة

introduction

Share |
الكلية كلية الهندسة     القسم  الهندسة المدنية     المرحلة 3
أستاذ المادة سامر عبد الامير عباس المشهدي       08/10/2018 16:03:22
Differential Equation المعادلات التفاضلية
هي المعادة التي تحتوي على مشتقة واحدة على الأقل. اما الحل فهو الحصول على معادلة خالية من المشتقات واذا عوضت في المعادلة التفاضلية الاصلية تحققها.
تقسم المعادلة التفاضلية الى قسمين حسب عدد المتغيرات المستقلة (independent variables) (الحالة البسيطة × هو المتغير المستقل):
Differential Equation{?(Ordinary D.E.@Partial D.E.)?
Ordinary D.E.المتغير المستقل واحد فقط
Partial D.E. المتغير المستقل اكثر من واحد
فمثلاً في المثال ادناه مقدار الهطول (y) يعتمد على الموقع (×) فقط. فالمتغير المستقل (×) واحد فقط. فعند حل مثل هذه المسائل تظهر معادلة تفاضلية اعتيادية.

وفي المثال ادناه عند إعطاء إزاحة معينة الى هذه المنظومة ثم تركها تتحرك فان مقدار الازاحة (y) تعتمد على الزمن فقط. فالمتغير المستقل واحد فقط. فعند حل مثل هذه المسائل تظهر معادلة تفاضلية اعتيادية.

اما في حالة تغير درجة الحرارة في جسم معين فإنها تعتمد على الزمن وعلى موقع النقطة (x, y, z) لذلك فعدد المتغيرات المستقلة اربع متغيرات. فعند حل هذه مثل هذه المسائل تظهر معادلة تفاضلية جزئية.
رتبة المعادلة التفاضلية (order):
هي رتبة اعلى مشتقه موجودة في المعادلة التفاضلية, فمثلاً المعادلة y"+xy +y=0 هي معادلة من الرتبة الثانية, والمعادلة (?^4 U)/(?x^4 )+(?2??^4 U)/(?x^2 ?y^2 )+(?^4 U)/(?y^4 )=0 هي معادلة جزئية لتغير U بتغير متغيرين مستقلين هما x&y وهي من الرتبة الرابعة.
درجة المعادلة التفاضلية (degree):
هي اعلى درجة للمتغير التابع, وتقسم المعادلة التفاضلية الى صنفين حسب درجتها:
Linear differential equation
Nonlinear differential equation
المعادلة التفاضلية الخطية هي المعادلة التي تنتمي الى الدرجة الأولى للمتغير المعتمد (التابع) ومشتقاته فقط. أي ان كل حد من المعادلة التفاضلية اما يحتوي على (y) او احد مشتقاته او لا يحتوي. ولا يجب ان تظهر (y) على شكل (Lin, ? , sin, y2 ,..) ولا يجب ان يظهر دمج بين y واحد مشتقاتها او بين المشتقات معاً. مثال:
y"+4xy +2y=cos x
هي معادلة خطية(من الدرجة الأولى) ومن الرتبة الثانية.
والمعادلة: y"+4yy +2y=sin x
هي معادلة غير خطية لظهور دمج بين y و y .
والمعادلة y"+sin y=0
هي معادلة غير خطية لوجود sin y

أساس المعادلة التفاضلية
ابسط شكل للمعادلة التفاضلية هو dy/dx=f(x) dy=f(x) dx
y(x) = ? f(x) dx + c
الثوابت الاختيارية يمكن وضعها بالعدد الذي نحتاجه, لكن الثوابت التي نحتاجها هي الثوابت الاختيارية الضرورية Essential arbitrary constants وهي الثوابت التي لا يمكن تقليص عددها. مثال:
a cos2x + b sin2x + c cos 2x
= a cos2x + b sin2x + c (cos2x - sin2x)
= (a+c) cos2x + (b-c) sin2x
= d cos2x + e sin2x
ان عدد الثوابت الاختيارية الضرورية لا يجوز ان يزيد عن رتبة المعادلة التفاضلية
رتبة المعادلة ? عدد الثوابت
order ? constants
Solution of differential equation
1- General solution
هو ذلك الحل الذي يحتوي على ثابت اختياري واحد على الأقل.
2- Particular solution
هو ذلك الحل الناتج من الحل العام بإعطاء قيم معينة للثوابت الاختيارية.
Boundary conditions for static problems.
Initial conditions for dynamic problems.
3- Singular solution حل شاذ
هو ذلك الحل الذي لا يمكن الحصول عليه من الحل العام بإعطاء قيم معينة للثوابت.
4- Complete solution حل تام
هو ذلك الحل الذي يمكن الحصول منه على جميع حلول المعادلة التفاضلية.
ex1:
Verify that y=a e-x + b e2x is a general solution for the differential equation: y"-y -2y=0.
y =-a e-x+2b e2x
y"=a e-x + 4b e2x
Substitute in diff. equ. :
a e-x+4b e2x-(-a e-x+2b e2x)-2(a e-x + b e2x) ?=0
a e-x+4b e2x+a e-x-2b e2x-2a e-x -2b e2x ?=0
(a+a-2a) e-x+(4b-2b-2b) e2x ?=0
(0) e-2x + (0) e2x =0
ex2:
Verify that y=a e-x + b e2x cannot be a solution for all values of the constants a & b for the differential equation yy" - (y )2=0.
(a e-x + b e2x)( a e-x+4b e2x)-( -a e-x+2b e2x)2?=0
9ab ex=0
=0 for a=0 & b=0 only
بينما لقيم a?0 و b?0 فان المعادلة لا تتحقق. يلاحظ ان المعادلة التفاضلية أعلاه ليست خطية.
ex3:
If a & b are arbitrary constants, find a second order diff. equ. which has the following equation as a general solution.
y=a ex+b cos x ….. (1)
هنالك مجهولين لذلك نحتاج الى معادلتين
y =a ex-b sin x …..(2)
y"=a ex-b cos x …..(3)
equ. (1) + (3) ? y+y"=2a ex
so a=(y+y")/(2e^x )
equ. (1) -(3) ? y-y"=2b cos x
so b=(y-y")/(2 cos?x ) sub. in equ. (2):
y^ =(y+y")/(2e^x ) e^x-(y-y")/(2 cos?x ) sin?x x (2)
2 y =y+y"-(y-y") tan x
(1+tan x) y"-2y +(1-tanx) y =0
هذه المعادلة التفاضلية الوحيدة من الرتبة الثانية التي تمتلك الحل المعطى كحل عام. ولكن هنالك معادلات من رتب اخرى تحقق الحل. فمثلاً:
y" =a ex+b sin x
y(4)= a ex+b cos x
so y(4)=y or y(4)-y=0
هذه معادلة من الرتبة الرابعة تمتلك الحل المعطى كحل عام لها ايضا.
H.W
1- Verify that each of the following diff. equ. Has the given general solution for all values of the constants a&b.
a) y" - 6y + 9y = 0
y = ae3x + bx e3x
b) y" + (y )2 +1 = 0
y = lin ?cos(x+a)?+ b
2- If a&b are arbitrary constants, find a diff. equ. For lowest order which has the indicated formula as a general solution.
a) y = a e-t + b et
b) y = 2a x + b x2
c) y = a e-t + c e2t


المادة المعروضة اعلاه هي مدخل الى المحاضرة المرفوعة بواسطة استاذ(ة) المادة . وقد تبدو لك غير متكاملة . حيث يضع استاذ المادة في بعض الاحيان فقط الجزء الاول من المحاضرة من اجل الاطلاع على ما ستقوم بتحميله لاحقا . في نظام التعليم الالكتروني نوفر هذه الخدمة لكي نبقيك على اطلاع حول محتوى الملف الذي ستقوم بتحميله .
download lecture file topic