SUM AND DIFFERENCE FORMULAS

The sum and difference formulas for the cosine function:
cos (? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
cos (? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ?
The sum and difference formulas for the sine function:
sin (? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
sin (? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos? sin ?
The sum and difference formulas for the tangent function:
? ?
? ?
? ?
1 tan tan
tan tan
tan ( )
?
?
? ?
? ?
? ?
? ?
1 tan tan
tan tan
tan ( )
?
?
? ?
Since 75? ? 30? ? 45? , then we can find the exact value of the cosine, sine, and
tangent of 75? using the respective sum formula with 30? and 45? . Since
6
30
?
? ? and
4
45
?
? ? , then
12
5
12
3
12
2
6 4
75
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ? . Of course, we
could have obtained this by converting 75? to units of radians using the conversion
factor
180 ?
?
. That is 75? = ?
? ?
180
75
?
=
180
75
?
? =
36
15
?
? =
12
5
?
? =
12
5?
.
The cosine of 75? or
12
5?
:
cos 75? ? cos (30? ? 45?) ? cos 30? cos 45? ? sin 30? sin 45? =
? ?
?
?
? ?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
2
2
2
1
2
2
2
3
=
4
2
4
6
? =
4
6 ? 2
…… (a)
4
sin
6
sin
4
cos
6
cos
6 4
cos
12
5
cos
? ? ? ? ? ? ?
? ? ??
?
??
?
? ? =
? ?
?
?
? ?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
2
2
2
1
2
2
2
3
=
4
2
4
6
? =
4
6 ? 2
…… (b)
The sine of 75? or
12
5?
:
sin 75? ? sin (30? ? 45?) ? sin 30? cos 45? ? cos 30? sin 45? =
? ?
?
?
? ?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
2
2
2
3
2
2
2
1
=
4
6
4
2
? =
4
6 ? 2
…… (c)
4
sin
6
cos
4
cos
6
sin
6 4
sin
12
5
sin
? ? ? ? ? ? ?
? ? ??
?
??
?
? ? =
? ?
?
?
? ?
?
?
?
? ?
?
?
? ?
?
?
2
2
2
3
2
2
2
1
=
4
6
4
2
? =
4
6 ? 2
…… (d)
The tangent of 75? or
12
5?
:
? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ? ?
1 tan 30 tan 45
tan 30 tan 45
tan 75 tan (30 45 ) =
(1)
3
3
1
1
3
3
?
?
=
3
3
1
1
3
3
?
?
= 3
3
3
3
1
1
3
3
?
?
?
=
3 3
3 3
?
?
=
3 3
3 3
?
?
=
3 3
3 3
3 3
3 3
?
?
?
?
?
=
9 3
(3 3 ) 2
?
?
=
6
9 ? 6 3 ? 3
=
6
12 ? 6 3
=
6
6( 2 ? 3 )
= 2 ? 3 …… (e)
4
tan
6
1