انت هنا الان : شبكة جامعة بابل > موقع الكلية > نظام التعليم الالكتروني > مشاهدة المحاضرة

تنسور مصفوفة الاجهاد (The tress tensor

Share |
الكلية كلية التربية للعلوم الصرفة     القسم قسم الفيزياء     المرحلة 3
أستاذ المادة بهاء حسين صالح ربيع الحسيني       22/12/2012 16:31:57


تنسور مصفوفة الاجهاد (The tress tensor) :
نعلم إن الإجهاد القوة المؤثرة عموديا على وحدة المساحة ، أما النسبة بين مركبة القوة المماسية ، وبين مساحة المقطع فتسمى الإجهاد المماسي أو إجهاد القص (Shearing or tangential stress) .
في البلازما عندما نأخذ الحركة الحرارية بعين الاعتبار، علينا إضافة قوة ضغط إلى الطرف الأيمن من المعادلة (3-38) . حيث تنشا هذه القوة من الحركة العشوائية للجسيمات داخ وخارج عنصر المائع
ولاتظهر هذه القوة في معادلة الجسيمة الوحيدة . لنفرض ان عنصر مائع ?x ?y ?z متمركز عند (x_0,1/2 ?y,1/2 ?z) كما في الشكل (6-3) :

الشكل (3-3 ) أصل عناصر تنسور (مصفوفة) الإجهاد


للسهولة سوف ندرس المركبة x للحركة من خلال السطحين A وB. ونفرض إن عدد الجسيمات التي تجتاز السطح A خلال ثانية واحدة وبسرعة vxهو:
?n_v v_x ?y ?z
حيث ?n_v هو عدد الجسيمات في cm3( في الجملة cgs) أو في m3( في الجملة mks) والتي سرعتها v_x . اي :

وكل جسيمة تحمل كمية حركية (momentum) Mv_x. نعتبر ان الكثافة n درجة الحرارة KT في كل مكعب تمتلك قيمة بمركز المكعب . عندئذ تكون كمية الحركة (P_(A^+ ) ) ? المحمولة إلى عنصر المائع عندX0عبر السطح Aمساوية لمجموع ?n_v في متوسط (v_x^2 ) ? مضروبا بتابع التوزع اي :
(3-39) P_(A^+ )=????n_v mv_x^2 ?y ?z=?y ?z[m(v_x^2 ) ? 1/2 n]_(x_(0^(-?x) ) ) ?
وجود الـ 1/2 اتى ن حقيقة كون فقط نصف الجسيمات في المكعب عند x_0-?x تتقدم نحو السطح A .
وبشكل مشابه نجد إن كمية الحركة (P_(B^+ ) ) ? المحمولة الى عنصر المائع عبر السطح B هي :
P_(A^+ )=?y ?z[m(v_x^2 ) ? 1/2 n]_(x_(0^ ) )
تكون المركبة x لكمية الحركة الكلية الناتجة عن الحركة نحو اليمين نحو للجسيمات هي :
(3-40 ) P_(A^+ )-P_(B^+ )=?y ?z 1/2 m([n(v_x^2 ) ? ]_(x_(0^(-?x) ) )-[n(v_x^2 ) ? ]_(x_0 ) )

سوف تتضاعف هذه النتيجة عند حساب كمية الحركة الناتجة عن الحركة نحو اليسار للجسيمات لأنها تحمل مركبة x سالبة لكمية الحركة وتتحرك في الاتجاه المعاكس للتدرج (v_x^2 ) ? وبالتالي يكون المجموع الكلي لكمية حركة عنصر المائع عند x_0 هو :
(3-41 ) ?/?t (nmu_x )?x?y ?z=-m ?/?x (n(v_x^2 ) ? )?x?y ?z
لنفرض إن سرعة جسيمة ما هي v_x مقسومة الى قسمين :
v_x=u_x+v_xr ;=(v_x ) ?
حيث u_x سرعة المائع و v_xr سرعة الحركة الحرترية العشوائية . ويكون لدينا في حالة توزع ماكسويل احادي البعد من المعادلة (1-11) من وحدة (مقدمة في البلازما ) (E=1/2 (_K^)T ) :
(3-42)1/2 m(v_xr^2 ) ?=1/2 (_K^)T
ألان تصبح المعادلة (3-41) بالشكل :
?/?t (nmu_x )=-m ?/?x [n((u_x^2 ) ?+2(?uv?_xr ) ?+(v_xr^2 ) ? ) ]=-m ?/?x [n((u_x^2 ) ?+(_K^)T/m) ]
بإجراء المكاملة بالتجزئة نحصل على :
(3-43) mn (?u_x)/?t+mu_x ?n/?t=-mu_x (?(nu_x))/?x-mnu_x (?u_x)/?x ?/?x (n(_K^)T )
واعتمادا على معادلة انحفاظ الكتلة :
(3-44) ?n/?t+?/?x (mu_x )=0
نستطيع حذف الحدين المجاورين لإشارة المساواة (=) في المعادلة (3-43) ، وبعد الأخذ بعين الاعتبار تعريف الضغط :
(3-45) (_K^)Tp=n
نحصل بالنهاية على :
(3-46 ) mn((?u_x)/?t+u_x (?u_x)/?x)=-?p/?x
نسمي المعادلة (3-46) قوة انحدار الضغط
وبإضافة القوة الكهرومغناطيسية وتعميم المعادلة بحيث تصبح ثلاثية الإبعاد نحصل على معادلة المائع:
(3-47) mn[(?u ?)/?t+(u ?.? ?)u ? ]=qn(E ?+u ?×B ? )-? ?p (mks)
وتمثل هذه المعادلة حالة خاصة فقط وهي كمية الحركة المحمولة إلى عنصر المائع وفق الاتجاه x فقط ، وقد اعتبرنا أن المائع متساوي الاتجاه (Isotropic) .
من الممكن أيضا أن تكون كمية الحركة x محمولة إلى عنصر المائع وفق الاتجاهين y وz ومن الممكن أيضا حمل كمية الحركة y عبر الحركة وفق المحور x ، فمثلا لنفرض الشكل (3-3) أن u_y مساوية للصفر في المكعب عند x=x_0 وموجبة في الاتجاهين ,عندئذ عندما تعبر الجسيمات عبر السطحين AوBفأنهما تحمل كميه حركهy.موجبه أكثر من حملها في الاتجاه المعاكس , ويربح بالتالي عنصر المائع كميه حركه في الاتجاهy.وهذا الاجهاد المماسي اواجهاد القص (Shearstress) لايمكن تمثيله بواسطة قيمة عددية للضغط P وإنما يجب إن يعطى على شكل مصفوفة (تنسور)P– تنسور الضغط ، الذي مركباته P_ij=mn(v_i v_i ) ? تحدد كلا من اتجاه الحركة ومركبات كمية الحركة المحمولة . وفي الحالة العامة نستبدل الرمز -? ?.Pبـ-(?P) ? حيث :
(3-48 ) ? ?p=(?P_?)/?x=divP
وذلك في حاله كميه الحركة المحمولة وفق الاتجاه x
سوف لن نحسب مصفوفه (تنسور) الضغط هنا إلا من اجل ابسط حالتين .عندما يكون تابع ماكسويل للتوزيع متساوي الاتجاه (Isotropic),يمكن كتابه بالشكل :
(3-49 ) P=(?(P&0&0@0&P&0@0&0&P))
وفي هذه الحالة تكون ?p ?=? ?.P
في ألفقره (1-2)من وحده مقدمه في البلازما اشرنا انه يمكن أن يكون للبلازما درجتي حرارةT_?وT_? بوجود مجال مغناطيسي .وفي هذه الحالة يكون لدينا قيمتين للضغط P_(?=nKT_? )وP_?=nKT_? وعندئذ يكون تنسور (مصفوفه)الضغط بالشكل :
(3-50) P=(?(P_?&0&0@0&P_?&0@0&0&P_? ))
نلاحظ أن عناصر السطر الثالث آو العمود الثالث تمثل اتجاه المجال المغناطيسي B ?
ونلاحظ إن المصفوفة (التنسور ) قطريهdiagonal)) وتظهر عدم تساوي الاتجاهIsotropy))في المستوي العمود على B ?. في المائع العاديordinary fluid))تكون العناصر اللاقطريه للمصفوفة Pعاده مرتبطة باللزوجةviscosity)).وعندما تصادم الجسيمات فيما بينها تنفصل بعد التصادم بسرعة وسطى لها جهة سرعه المائع u ? عند النقطه التي يحدث فيها التصادم الاخير .معطيه كميه حركه للعنصراخر من المائع بعد التصادم , وهذا يؤدي إلى مساواة u ? في مختلف النقاط ,وتكون المقاومة الناتجة لتيار القصShear flow))هي ما سميناه اللزوجة .وكلما كان المسار الحر الوسطي (the mean free path) اكبر , كلما كانت مسافة نقل كميه الحركة اكبر وكانت( اللزوجة هي قياس امتناع المائع عن التدفق) تحدث في البلازما ظواهر مماثله حتى في غياب الصدمات, وينقل دوران لارمور الجسيمات ( وبشكل خاص الايونات) إلى أجزاء مختلفة من البلازما ويؤدي ذلك إلى مساواة لزوجه المائع في هذه الأجزاء . ويكون نصف قطر لامور هو الذي يحدد مدى اللزوجة في حاله عدم التصادم . وبالتالي تتحدد اللزوجة بواسطة مجموع تأثيري دوران لارمور في غياب التصادم (والمرتبط بالسرعة الانجرافية (v_E ) ?في المجال غير المنتظم E ?) بالاضافه إلى اللزوجة الناتجة عن التصادم والتي اشرنا اليها اعلاه


المادة المعروضة اعلاه هي مدخل الى المحاضرة المرفوعة بواسطة استاذ(ة) المادة . وقد تبدو لك غير متكاملة . حيث يضع استاذ المادة في بعض الاحيان فقط الجزء الاول من المحاضرة من اجل الاطلاع على ما ستقوم بتحميله لاحقا . في نظام التعليم الالكتروني نوفر هذه الخدمة لكي نبقيك على اطلاع حول محتوى الملف الذي ستقوم بتحميله .
download lecture file topic