المحاضرة الاولى

الفصل الأول
نظرية الاهت ا زز الحر
تعاريف عامة
الذبذبة الكاملة : هي حركة الجسم التي يقطع فيها المسار ذهابا وايابا.
مدة )نقطة( الذبذبة : هي الزمن اللازم لذبذبة كاملة.
هو عدد الذبذبات التي يصنعها الجسم المهتز في وحدة الزمن ويقاس بالهيرتز )ذبذبة/ثانية( : f التردد
المسافة الفاصلة بين نقطتين متتاليتين تتحركان بنفس الشكل والاتجاه والطور :? الطول الموجي
?= v. t حيث t بزمن مقداره ? ثابتة فالموجة تقطع مسافة قيمتها v عندما تكون سرعة الموجة
.)x( الإ ا زحة : هي بعد الجسم عن موضع الاستق ا رر في أي لحظة يرمز لها بالرمز
سعععة الموجععة )الاهتعع ا زز( : هيي أقصييا ة ا زحية للجسييم المهتيز عيين موضيع الاسييتق ا رر , وسيعة الاهتيي ا زز
من بدء الحركة. )t( وعلا الزمن )x( لنقطة ما تعتمد علا بعد النقطة عن نقطة الأصل
سرعة الموجة : المسافة التي تقطعها الموجة في الثانية الواحدة.
لنقطة (? ) الطور وفرق الطور: هو الموقع النسبي للنقاط المختلفة في الموجات. وتحسب ا زوية الطور
بالعلاقة:) أي ةن الطور هو النقاط التي يمر بها الجسم أثناء (x) مسافة (o) تبعد أفقياً من الصفر
تذبذبه(
فرق الطور :هو الفرق بين طوري موجتين لهما نفس التردد )بالتالي نفس طول الموجة).
الجسم المرن : هو الجسم الذي يستطيع استعادة وضعه أو شكله الأصلي بعد زوال القوة المؤثرة عليه.
خاصية القصور الذاتي: تمثل صفة استم ا ررية الجسم أو أج ا زء الوسط المادي علا البقاء في حالة
حركية ثابتة ما لم تؤثر عليه قوة خارجية تغير تلك الحالة.
ةن كل جسم يمتلك خاصيتي المرونة والقصور الذاتي له القابلية علا الاهت ا زز ةذا ما استثير.
الاهت ا زز : هي حركة جسيم ذهابا وايابا حول نقطه ثابتة تدعا بموضع التوازن والاستق ا رر
موضع الاستق ا رر : هي نقطة تنعدم فيها محصلة القوى المؤثرة في الجسيم المهتز وتمثل نقطة سكونه
عندما يتوقف عن الاهت ا زز
الجسيم : هو أي جسم صلب وصغير لا يتغير حجمه ويتغير كقطعة واحدة
?
?
?
2 x
?
الحركة الدورية : هي حركة جسم مهتز في مسار محدد تتكرر في فت ا رت زمنية منتظمة وقد يكون مسيار
هذه الحركة بسيطا أو معقدا مثل الحركة الدائرية وحركة جسم معلق بنابض وحركة الشوكة الرنانة.
الحركة الاهت ا ززية : هي الحركة الدورية التي تنعكس دو ا رتها بفت ا رت زمنية منتظمة أي ةنها حركة ذهاب
واياب مثل حركة البندول البسيط والجسم المعلق بنابض.
الحركعة التوافقيعة البسعيطة : هيي حركية جسيم عليا خيط مسيتقيم بتعجييل يتناسيب طردييا ميع ة ا زحتيه عين
نقطة ثابتة تمثل موضع توازنه واتجاهه دائما متجها نحو تلك النقطة )أي موضع الاستق ا رر(.
شروط الحركة التوافقية البسيطة
-1 ةن يكون مسار الجسم علا خط مستقيم يمر بنقطة ثابتة تمثل موضع استق ا رره.
-2 ةن مقييدار تعجيييل الجسييم يتناسييب طرديييا مييع مقييدار ة ا زحتييه عيين موضييع التييوازن , أي أن هنيياك قييوة
تدعا القوة المعيدة تحاول ةعادة الجسم لموضعه الأصلي.
-3 ةن اتجاه تعجيل الجسم يكون دائما متجها نحو التوازن .
معادلة الحركة الخطية التوافقية البسيطة
يتحيرك عليي سيط أفقيي أمليس بسيبب تييثير نيابض مرويوط بالجسيم كميا فيي m ةذا كيان ليدينا جسيم كتلتيه
من موضع التيوازن وضيمن حيدود المرونية فيان x الشكل أدناه وقد أزي الجسيم ة ا زحة آنية طفيفة مقدارها
القوه التي تحاول ةرجاع الجسم ةلا موضع توازنه تدعا )قوة المعيدة(
F= - k x ...........( من قانون هوك ( 1
تمثل ثابت المرونة والإشارة السالبة تشير ةلا ةن اتجاه القوة يعاكس اتجاه زيادة الإ ا زحة. k حيث
?F ووتطبيق قانون نيوتن الثاني للجسيم المتحرك والذي يين عليا )محصيلة القيوى الميؤثرة فيي الجسييم
)a في التعجيل m يساوي حاصل ضرب حاصل ضرب كتلته
?F= ma ……(2)
وبما ةن محصلة القوى المؤثرة في الجسيم المهتز هي
- k x ? F=
من المعادلة ) 2( نحصل علا
? F= m
………(3)
-k x = m
?
……(4)
واذا فرضنا ةن
حيث ةن w? هي مقدار ثابت تمثل فيزياويا التردد ال ا زوي للمهتز وبالتالي
…..(5)
وهي معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية تدعا بمعادلة الحركة التوافقية البسيطة.
حل معادلة الحركة التوافقية البسيطة
لحل معادلة الحركة التوافقية البسيطة يجيب ةن نفيرض معادلية مشيابهة لمعادلية الحركية التوافقيية البسييطة
ةذا علمنيا الشيروط الابتدائيية للحركية عنيد بيدء الحركية t=0 و x=0 أي يبيدأ الجسيم بالحركية مين موضيع
التوازن .
حيث A, a يمثل ثوابت اختيارية
-
2 sin at
وبالتعويض عن x وعن
في المعادلة ) 5( ينتج
-
2 sin
t =
ووتساوي الطرفين يكون
=
وتكون المعادلة ) 6( كالآتي:
وتمثييل الحييل الخييا لمعادليية الحركيية التوافقييية بتطبيييق الشييروط الابتدائييية ةن هييذا الحييل يشييير ةلييا ةن
الحركة الخطية التوافقية هي جيبيه يمكن تمثيلها بالمنحني الجيبي .
t تمثل الإ ا زحة الخطية للجسيم من موضع التوازن في الزمن x حيث ةن
يمثل التردد ال ا زوي للمهتز ويساوي w? , تمثل سعة الاهت ا زز A
يمثل الزمن الدوري للحركة الخطية التوافقية البسيطة ويساوي T?
يمثل تردد الحركة الخطية التوافقية البسيطة f?
ميرة X=A ثيم بعيد ذليك ةليا X= -A ةليا X=A الزمن الدوري هو الزمن اليلازم لإكميال دورة واحيدة مين
أخرى .
والحل أعيلاه يحتيوي عليا ثابيت اختيياري واحيد ليذلك يمثيل حيل خيا ولييس حيلا كياملا لمعادلية تفاضيلية
من الرتبة الثانية حيث من المعلوم ةن الحل العام لمثل هذا النيوع مين المعيادلات يجيب أن يتضيمن ثيابتين
اختياريين, لذلك هناك حل آخر للمعادلة التفاضلية للمركبة الخطية التوافقية هو
بيخذ المشتقة الأولا والثانية للمعادلة ) 8( نحصل علا
ووتعويض المعادلتين) 8,10 ( في معادلة ) 5( نحصل علا
-b2 B cos b t = -w?2 B cos b t
w? =b
B cos t…….(11)
ةن هذا الحل يمثل حلا خاصا لان يحتوي علا ثابت اختياري واحد ويمكن تمثيله بمنحني الجيب تمام
ولما كانت المعادلتين ) 7,11 ( مستقلتين عن بعضهما البعض وكل منهما يمثل حلا خاصا يختلف عن
الآخر لذلك يمكن اعتبار مجموع هذين المعادلتين حلا آخر للمعادلة ) 5( ووذلك يصب
……(12)
ليذلك يمكين اعتبياره حيلا عاميا وكياملا للمعادلية التفاضيلية للحركية A,B ةن هيذا الحيل يحتيوي عليا ثيابتين
يميثلان طيول ضيلعين مثلثيين قيائمين A,B الخطية التوافقية البسيطة, ويمكن تبسيط هذا الحيل بفيرض ةن
كما في الشكل أدناه C في مثلث قائم ال ا زوية طول وتره
C2 = A2 + B حيث ةن 2
نحصل علا C وبضرب الطرف الأيمن من المعادلة( 12 ( والقسمة علا
من المثلثات لدينا
sin ? =
نعوض هذه العلاقات في المعادلة نحصل علا
هذه المعادلة تمثل حلا عام لمعادلة التفاضلية من الرتبة الثانية لأنها تتضمن ثابتين اختياريين هما
.C,?
t تمثل الإ ا زحة الخطية الآنية من موضع التوازن في الزمن : X
تمثل سعة الاهت ا زز وهي أقصا قيمة للإ ا زحة من موضع التوازن :C
تمثل التردد ال ا زوي
:
تمثل الطور الابتدائي لحركة الجسيم , أي تحدد موضع الجسم عندما t=0 حيث
وحدة الطور هي ا زوية نصف قطرية
تدل ال ا زوية ) wt+? ( علا الطور الآني أو الطور الذي يحدد حالة الجسم المهتز في أي لحظة .
لو عوضنا عن ? و W بما يساويها فان:
فإذا كان K )ثابت الانتشار او العدد الموجي( =
, وعليه
معادلة الإ ا زحة
كما ةن
=
وتوض معادلة التعجيل ةن القوة المؤثرة علا جسم ستؤدي ةلا ة ا زحته في اتجاه معاكس وهذا يؤكد ةن
الجسم سيقوم بحركة اهت ا ززية بسيطة زمنها الدوري هو :
وترددها ,
ةن نموذج أو منظومة ” الكتلة – النابض “ تطبق عمليا بكثرة فيي صيناعة بعيض )ال ا رسيمات والمسيجلات
التشيابهية ( ومخططيات القليب واليدما , وكيذلك فيي تسيجيل اهتي ا ز ا زت القشيرة الأرضيية وبعيض بيانيات
الأرصاد الجوية حيث يروط فيلم يقوم برسم الإشارة المسجلة كما موض في الشكل التالي:
20 ةليا نهايية gm 50 مين نهايية نيابض عنيدما يضياف جسيم آخير كتلتيه gm مثعال // يتيدلا جسيم كتلتيه
7 أخييرى , 1- أوجييد ثابيت النييابض 2- ةذا ابعييد الجسييم الآخيير عيين cm النيابض , يسييتطيل النييابض
النابض احسب زمن الدورة.
السرعة الآنية والتعجيل الآني للمهتز التوافقي البسيط
وجدنا ةن الإ ا زحة الآنية للمهتز التوافقي البسيط هي
X = C sin ( w?t + ? ) --------- 1
يمكن ةيجاد السرعة الآنية من اشتقاق الإ ا زحة الآنية بالنسبة للزمن
V = = C w? cos (w?t + ? ) --------- 2
v?= c w? سعة السرعة هي أقصا قيمة لسرعة المهتز ويرمز لها
V=V? cos (w?t + ? ) --------- 3
--------- من المعادلة 1 نجد : 4
ومن المعادلة 2 نجد :
= cos ( w?t + ? ) ------------- 5
بترويع طرفي المعادلتين 3,5 نحصل علا
---------6
حيث ةن :
[sin ( w?t + ? )]2 + [cos ( w?t + ? )]2 = 1
يلاحظ من المعادلة أعلاه بان السرعة الآنيية للجسييم المهتيز تصيب صيف ا ر عنيدما يصيل أقصيا ة ا زحية مين
موضع التوازن أي عندما تكون X=C وتكون السرعة في ذروتها عندما يمر الجسييم فيي نقطية توازنيه أي
عندما تكون X=0 .
ويمكن الحصول علا التعجيل الآني للجسيم المهتز بيخذ المشتقة الثانية للإ ا زحة بالنسبة للزمن
A=
= - cw?2 sin(w?t+ ?)
حيث ةن cw?2 يمثل سعة التعجيل أي أقصا قيمة للتعجيل ويرمز له a? فتصب المعادلة
a = - a? sin ( w?t + ? )
ةن هذه المعادلة هي نفس معادلة الحركة التوافقية البسيطة فإذا عوضنا بدل a? بالمقدار cw? وويدل
C sin ( w? + ?) بالمقدار x ينتج a = - w?2 X
أي ةن التعجيل يساوي صفر عندما يمر الجسم في موضع التوازن ويكيون فيي ذروتيه عنيدما يكيون الجسيم
في أقصا ة ا زحة له.
طاقة المهتز التوافقي البسيط
عندما يهتز الجسيم فان كلا من الطاقة الحركية والكامنة تتغي ا رن باسيتم ا رر ماعيدا فيي نقطتيين يختفيي احيد
الشيكلين ليتحيول كلييا ةليا الشيكل الآخير . ففيي أقصيا ة ا زحية للجسييم مين موضيع التيوازن حييث يتوقيف
الجسييم لحظيييا عيين الحركيية لتتحييول الطاقية كليييا ةلييا طاقيية كامنيية وفيي لحظيية مييرور الجسيييم فييي نقطيية
التوازن تتحول الطاقة كليا ةلا طاقه حركية .
KE : الطاقة الحركية الآنية التي تكتسبها كتلة الجسيم المهتز بفضل سرعته
PE : الطاقة الكامنة الآنية التي يختزنها النابض الحلزوني
تعطا الطاقة الحركية كما يلي علما ةن m كتلة الجسيم , v السرعة الآنية في الزمن t
KE=
أما الطاقة الكامنة فهي علا النحو الآتي:
كما يلي: E وعليه تكون الطاقة الكلية
وهييذا يعنييي ةن الطاقيية الكلييية الميكانيكييية تسيياوي الطاقيية الكامنيية القصييوى المختزنيية فييي النييابض )عنييد
أعظم ما يمكن(. PE استطالة النابض تكون
v = 0 , k = 0 , E = PE فان x= ± A عندما
E = KE وبالتالي تكون , PE = فان 0 , x= أما عندما تكون 0
أي أن =
أي أن :
يوضي الشيكل التيالي تغيي ا رت الطاقية الكامنية ميع الطاقية الحركيية وهيي تغيي ا رت تبادليية بيين شيكلي الطاقية
كما هو متوقع وفق قانون حفظ الطاقة.
مثعال// جسعيم يهتعز بحركعة توافقيعة بسعيطة أزيع إ ا زحعة مقعدارها 12cm فعي اللحظعة التعي تكعون فيهعا
سرعته 5cm/sec وأزي إ ا زحة مقدارها 5cm في اللحظة التي تكون فيها سرعته 12cm/sec احسب
-1 سعته 2- تردده 3- زمنه الدوري
-1 السرعة الآنية v لجسيم يتحرك حركة توافقية بسيطة هي :
V=
بالتعويض بمعطيات الحالة الأولا نحصل
وبقسمة المعادلة 2 علا 1 وترويع المعادلتين نحصل علا :
نعوض قيمة c في المعادلة 1أو 2
ا زوية نصف قطرية لكل ثانية
-2 من العلاقة
w = 2 ? f
-3 من العلاقة
T=2 ?
T= 6.28 sec
مثعال// كتلية مقيدارها 200g مرووطية بسيبرنك ثابيت القيوة ليه 5N/m ةذا كانيت تبعيد مسيافة قيدرها 5cm
- من نقطة الات ا زن , ثم تركت تتذبذب بحرية أفقيا علا سيط أمليس . 1- أوجيد اليزمن اليدوري للحركية. 2
السييرعة القصييوى للحركيية . 3- مييا هييو أقصييا تعجيييل )تسييارع( للكتليية. 4- عبيير عيين الموقييع والسييرعة
والتعجيل كدوال للزمن.
-1
-2
-3
-4 لحساب ثابت الطور نستخدم الشروط الابتدائية للحركة حيث x=A و t=0 , ?=0 وبالتعويض
بالمعادلة العامة نحصل علا A = x(0)=A cos ? لذا تكون المعادلة