المحاضرة الثانية عشر

التحليل المركب/محاضرات خاصة للمرحلة الرابعة/كلية التربية/قسم الرياضيات
إعداد الأستاذ / زاھر عبد الھادي / جامعة بابل / كلية التربية (ابن حيان) / قسم الرياضيات
36
Hyperbolic Function ?? د? زا ? دوال ا ? -5 ا
A- cosh2z - sinh2 z = 1
B- 1- tanh2 z = sech2z
C- coth2z -1 = csc2z
D- sin h (-z) = - sin h z
E- cos h (-z) = cos h z
F- tan h (-z) = - tan h z
G- sin h (z1 ? z2) = sin h z1 cos h z2 ? sin h z2 cos h z1
H- cos h (z1 ? z2) = cos h z1cos h z2 ? sin h z1 sin h z2
I- tan h (z1 ? z2) =
?? د? زا ? دوال ا ? وا ?? د??? ا ??????? دوال ا ? ن ا ?? ????? ا
A-sin (i z) = i sin h z
B- sin h (i z) = i sin z
C- cos (i z) = cos h z
D- cos h (i z) = cos z
( )
cot ( )
( )
tan
csc 2
sec 2
2
cos
2
sin
z z
z z
z z
z z
z z
z z
z z
z z
e e
h z e e
e e
h z e e
e e
h z
e e
h z
h z e e
h z e e
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
1 2
1 tan tan
tan tan
h z h z
h z h z
?
?
التحليل المركب/محاضرات خاصة للمرحلة الرابعة/كلية التربية/قسم الرياضيات
إعداد الأستاذ / زاھر عبد الھادي / جامعة بابل / كلية التربية (ابن حيان) / قسم الرياضيات
37
E- tan (i z) = i tan h z
F- tan h (i z) = i tan z
G- sin z = sin x cos h y + i cos x sin h y
H- cos z = cos x cos h y – i sin x sin h y
I- ?sin z ?2 = sin 2 x + sin h 2y
J- ?cos z ?2 = cos 2 x + sin h 2y
K- sin z = 0 ? z = k? , k = 0 , ?1 , ?2 , …
L- cos z = 0 ? z = ?/2 + k? , k = 0 , ?1 , ?2 , …
M- sin h z = sin h x cos y + i cos h x sin y
N- cos z = cos h x cos y + i sin h x sin y
O- ?sin h z ?2 = sin h 2 x + sin 2y
P- ?cos h z ?2 = cos h 2 x + cos2y
Proof G:
T. p. sin z = sin x cos h y + i cos x sin h y
I H
Proof I:
T .p. ?sin z ?2 = sin 2 x + sin h 2y
? ? G
?sin z ?2= ? sin x cos h y + i cos x sin h y ?2
i
e e
i
z e e
iz iz i x iy i x iy
2 2
sin
? ( ? ) ? ? ( ? )
?
?
? ?
x h y i x hy
x e e i x e e
i x e e x e e
i
i
i
x e e i x e e
i
e x i x e x i x
i
e e e e
y y y y
y y y y
y y y y
y y
y ix y ix
sin cos cos sin
2
cos ( )
2
sin ( )
2
sin ( )
2
cos ( )
2
cos ( ) sin ( )
2
(cos sin ) .(cos sin )
2
.
? ?
?
?
?
?
? ?
?
? ?
? ? ? ? ?
? ? ?
?
?
?
? ?
? ?
? ?
?
? ?
التحليل المركب/محاضرات خاصة للمرحلة الرابعة/كلية التربية/قسم الرياضيات
إعداد الأستاذ / زاھر عبد الھادي / جامعة بابل / كلية التربية (ابن حيان) / قسم الرياضيات
38
= sin2 x cos h2 y + cos2 x sin h2 y
= sin2 x (1+ sin h2 y) + (1- sin2 x) sin h2 y
= sin 2 x + sin h 2y
J
Proof K :
T .p. sin z = 0 ? z = k? , k = 0 , ?1 , ?2 , …
Sin z = 0 ? sin2x + sin h2 y = 0
Sin x = 0 & sin h y = 0
y = 0 , x = k? , k = 0 , ?1 , ?2 , …
______ __________ ___ ____________________ __________ ____
sin z ? sin ( x ?i y ) ? sin x cos hy ? isin hy cos x
? sin x coshy ? i sin hy cos x ……… (1)
sin ( z ) ? sin ( x?i y) ?sin x coshy ? i sin hy cos x ………. (2)
2 1
z sin z
________
sin ?