المحاضرة السابعة

ذور 21 ?? وى وا ?? ا / ????? ل ا ??? ا
Powers 1) القوى
(De.Movire s Theorem) نظرية دي موفري
مثال: أحسب
( 1 + i )10 -1
( 1 + i ) -8 - 2
1 بالصيغة القطبية وذلك بحساب القيمة المطلقة +i الحل: أ) نكتب
ب) وجدنا من (أ) أن
.cos? و sin? بدلالة sin 5?, cos5? مثال : باستخدام نظرية دي موفري جد
الفصل الثاني/ القوى والجذور
Chapter 2/ Powers & Roots
" أعطوني خبزا" ومسرحا" … أعطيكم شعبا" مثقفا" " وليم شكسبير
? ?
? ? 32
4
sin 10
4
2 5 cos10
4
sin
4
(1 ) 2 cos
(1 ) (cos sin )
1 4
tan 1 tan 1 1
| | |1 | 1 1 2
10 10 10
2 2
? ? ?
? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
?? ? ?? ?
?? ?
?? ?
? ?
? ?
? ?
?
?
i
i i
i r i
x
y
Z i r
? ?
16
(1 0) 1
16
( cos2 sin2 ) 1
16
1 1
4
2 ,
? ? 8 ? ? ? ? ?
? ?
? ? ?
?
?
i i
r
( cos? + i sin? )n = cos n? + i sin n?
ذور 22 ?? وى وا ?? ا / ????? ل ا ??? ا
الحل:
( cos? + i sin? )5 = cos 5? + i sin 5? باستخدام المتطابقة
r = و 1 n = نجد أن 5
وباستخدام نظرية ذي الحدين والتي تنص :
نجد أن
Euler s Formula صيغة اويلر
ومن خلال ھذه الصيغة يمكن إعادة كتابة العدد المركب بالصيغة آلاتية
Z = r ( cos? + i sin? ) = r ei ?
ھو Z ومنھا يكون النظير الضربي ل
Z-1 =
وحاصل الضرب ھو
Z1 Z2 = r1 ei ? . r2 ei ? 2
?
?
i
i e
r e r
1 ? 1 ?
? ?n n n n n a b a na b n n a b ? ? b
?
? ? ? ? ? ? ? 1 2 2
2!
( 1)
cis? = e i? = cos ? + i sin ?
ذور 23 ?? وى وا ?? ا / ????? ل ا ??? ا
= r1 r2 ei ( ?1 + ? 2 )
وناتج القسمة ھو
ملاحظة:
بدلالة الدالة الاسية وبالعكس . sin ? و cos ? 1) من الممكن التعبير عن الدوال المثلثية
(2
عدد صحيح فان n 3) اذا كانت
? ? ?
?
?
n even
n odd
n
1 ,
1 ,
cos ?
sin n? ? 0 , ?n و كذلك
e?i = مثال/ برھن أن 1
الحل/ أثناء المحاضرة.
بالصيغة العادية ez مثال/ اكتب
الحل/ أثناء المحاضرة
( 1 2)
2
1
2
2
1
1
2
1 ? ?
?
?
? ? i ?
i
i
e
r
r
r e
r e
Z
Z
2
,cos
2
sin
? ? ? ?
? ?
i i ei e i
i
e e? ? ?
?
?
?
? ? ? ? ? ?
?
? n i n in
i
ei n ? e ? e ? e 1