المحاضرة السادسة

13 ??? ر?? داد ا ?? ول / ا ? ل ا ??? ا
????? ن??? وا ?
1- arg (Z1 . Z2) = arg Z1 + arg Z2
= ?1 + ?2
2- arg (Z1 / Z2) = arg Z1 - arg Z2 , Z2 ? 0
= ?1 - ?2
3- arg (1 / Z) = - arg Z , Z ? 0
= - ?
4- ?Z1 . Z2?= ?Z1?. ?Z2?= r1 . r2
5-
Proof (1) :
Let Z1 = r1 (cos ?1 + i sin ?1) & Z2 = r2 (cos ?2 + i sin ?2)
? Z1. Z2 = r1 r2 ?(cos ?1 + i sin ?1). (cos ?2 + i sin ?2)?
= r1 r2 ?(cos ?1 cos ?2 - sin ?1 sin ?2) + i (sin ?1 cos ?2 +
sin ?2 cos ?1)?
= r1 r2?cos (?1+ ?2) + i sin (?1+?2)?
Ex .: let Z1 = 1 + i , Z2 = 1 - i ? 3 find arg (Z1 . Z2)
Sol .: Z1 = 1 + i ? r1 = ? 2 , ?1 =
Z2 = 1 - i ? 3 ? r2 = 2, ?2 =
Since Z1. Z2 = r1 r2?cos (?1+ ?2) + i sin (?1+?2)?
? Z1. Z2 = 2 ? 2 ?cos ( + ) + i sin ( + )?
? arg (Z1 . Z2) = + =
4
?
3
??
4
?
3
??
4
?
3
??
4
?
3
??
12
?
?
, 0 2
2
1
2
1
2
1 ? ? Z ?
r
r
Z
Z
Z
Z
14 ??? ر?? داد ا ?? ول / ا ? ل ا ??? ا
Z1 . Z2
2 ? 2 r
?? و??? ن? ر???
r , ? Z1 . Z2 ? 0 1
i (1-i? 3 ? 3 + i )=2 + i 2? 3 2
Q3/suppose that Z1 . Z2 ? 0 use the polar form to show that
Q4/ Prove or disprove Arg (Z1. Z2) = Arg Z1 + Arg Z2
Hint: Z1 = -1 and Z2 = i
Q5/ Show that: ?Z1 + Z2?2 + ?Z1 - Z2?2 = 2( ?Z1 ?2+? Z2?2)
Q6/ Prove that ?2 ?Z ?? ?Re (Z) ?+ ?Im (Z) ?
Q7/ Prove that:
1)? ?Z1 ?- ?Z2 ?? ? ?Z1 + Z2? Hint: let ?Z1 ?= ?Z1 + Z2 + (-Z2) ?,
?Z2 ?= ?Z2 + Z1 + (-Z1) ?
2)? ?Z1 ?- ?Z2 ?? ? ?Z1 - Z2? Hint: let ?Z1 ?= ?Z1 - Z2 + Z2 ?
?Z2 ?= ?Z2 - Z1 + Z1 ?
Q8/ let Z1 = 1 + i, Z2 = ? 3 i find arg (Z1 / Z2), sol. =
/ س 9
إذا كان z1 = 1+2i و z2= 1-i أوجد قيمة ? ?
?
?
? ??
?
z ?i
z
2
. Im 1
/ س 10
إذا كان z1 = 1+i و z2= 1-i و z3 = i أوجد قيمة كل من ? ?
?
?
? ??
?
? 2 3
1
2
Re
z z
و iz ? ?
?
?
? ??
?
3
1 2
z
. Arg z z
12
?
?
Re( . ) 2 , 0, 1, 2,? 1 2 1 2 1 2 Z Z ? Z Z ?? ?? ? n? n ? ? ?
2 , 0, 1, 2,? 1 2 1 2 1 2 Z ? Z ? Z ? Z ?? ?? ? n? n ? ? ?
12
5?
15 ??? ر?? داد ا ?? ول / ا ? ل ا ??? ا
let z1 = 4-5i , z2= 2+3i find in the form (x+iy) / س 11
(z1+z2)2 -1
-2
1
2
z
z
(1+i)8 -3
z1 ? z4 ? z1 ? z2 ? z2 ? z3 ? z3 ? z س 12 /برھن ان : 4
13
1 2 Im(z2) = 2 1
2
2 ?
? ?
?
iz
z 3 z i
z
Re(z + 2 - 2i) = 3 4 1 ?
14
1
z
f z z
?
?
1
2 ( )
z z
f z z
?
( ) ?