المحاضرة الثانية

3
العمليات الأربعة على الأعداد المعقدة
تتم عمليات جمع وطرح وقسمة الأعداد المعقدة بإتباع قواعد الجمع والطرح والضرب والقسمة
على النحو الآتي i2 = - للأعداد الحقيقية مع ملاحظة 1
Z1= x1 + iy1 , Z2 = x2 + iy2
Z1 + Z2 = ( x1 + x2 ) + i ( y1 – y2 )
Z1 . Z2 = ( x1 + iy1 ) ( x2 + iy2 )
= ( x1 x2 – y1 y2 ) + i ( x1 y2 + x2 y1 )
بحيث Z يكتب بالصيغة ھو العدد Z2 ( Z2 ? على العدد ( 0 Z حاصل قسمة العدد 1
يحقق العلاقة
Z1 = Z Z2
x1 + iy1 = ( x + iy ) ( x2 + iy2 )
وبمساواة الجزئين الحقيقي والخيالي وبعد فتح القوسين ينتج
x1 = x x2 – y y2
y1 = x y2 + y x2
نجد أن y & x وبحل ھاتين المعادلتين للحصول على
x = & y =
ھو = ( Z2 ? اذاً حاصل القسمة ( 0
Z1
Z2
x1 x2 + y1 y2 x 22 + y 22
x1 x2 - y1 y2
x2 + y2 2 2
Z1
Z2
Z1
Z2
x1 + i y1
x2 + i y2
4
= + i
( Complex Conjugate ) مرافق العدد المعقد
= x – i y ويرمز لھ بالرمز ھو العدد المعقد Z = x + iy أن مرافق العدد المعقد
أي أن المرافق للعدد المعقد ينتج بتغير أشارة الجزء الخيالي فيھ .
مثال
= 5 + 2i ھو Z = 5 – 2i أن مرافق العدد
بعض خواص العدد المرافق
(1) Z = 0 = 0
(2) = = x - iy
(3) = - i & = i
(4) Z = Z
(5) = - Z ( (اذا كان العدد المعقد خيالي صرف
(6) = Z ( (اذا كان العدد المعقد حقيقي
(7) Z = ( x + iy ) ( x – iy ) = x2 + y2
(8) Z + = 2Re(Z) = 2X ?
(9) Z - = 2i Im(Z) = 2iy ?
x1 x2 + y1 y2
x 22 + y 22
y1 x2 - x1 y2
x2 + y2 2 2
Z Z
Z
Z x + iy
Z
i - i
Z
Z
Z
Z
i
Z Z Z
2
Im( )
?
?
2
Re(Z) Z Z ?
?
Z
5
(10) (z1 ± z2) = z1 ± z2
(11) = .
(12) = , Z2 ? 0
Z 1 . Z2 Z1 Z 2
Z1
Z2
Z1
Z2