تطبيقات على الحركة التوافقية البسيطة

يعتبر البندول البسيط احد الأنظمة الميكانيكية التي تعمل حركة دورية. يتكون البندول البسيط من جسم كتلتهm معلق بخيط طوله L في احد طرفيه والطرف الآخر مثبت , كما في الشكل .تحدث الحركة على المستوى الأفقي وتستمر تحت تأثير قوة الجاذبية . القوة المؤثرة على الجسم المعلق هي قوة الشد T التي تنتج في الخيط وقوة الجاذبية الأرضية mg .المركبة المماسية mgsin? تؤثر دائما في الاتجاه الذي يجعل الزاوية ?=0 وفي عكس الإزاحة التي تحدث للجسم بالنسبة لموضع الاتزان .ولهذا فان المركبة المماسية تعتبر قوة الاستعادة وبما إن قوة الشد عمودية على الحركة تكاد تكون معدومة ليس لها تأثير لذلك نأخذ فقط القوة المماسية وبتطبيق قانون نيوتن الثاني على الحركة في الاتجاه المماسي .
F_t=-mg sin?=m(d^2 x)/dt^2
حيث s هي موضع الجسم مقاسا بطول المنحني والإشارة السالبة تشير إلى أن القوة المماسية تعمل في اتجاه نقطة الاتزان (والإشارة السالبة تعني اتجاه زيادة القوة يعاكس اتجاه زيادة الزاوية ?) ولان x=L? وحيث أن L ثابتة فالمعادلة تصبح :
(d^2 ?)/dt^2 =-g/L sin?
باعتبار إن ? هي الموضع وهي صغيرة جدا فمن الممكن أن نقرب sin??? , وعليه تصبح المعادلة
(d^2 ?)/dt^2 =-g/L ?
وهي تمثل حركة توافقية بسيطة , وعليه يمكن أن تكتب دالة الزاوية ? ?=?_max cos??(wt+?)?
حيث ?_max هي اكبر موضع زاوي للبندول والتردد الزاويw يعطى على النحو التالي:
?a=?-w?^2 x
?w^2= g/L , ?=?(g/L)
ونجد إن الزمن الدوري لحركة البندول البسيط 2?/T , w = T=2?/? ?(L/g)
T=2??(L/g) ? f=1/2? ?(g/L)

أي أن الزمن الدوري والتردد يعتمد على طول الخيط والتعجيل ولا يعتمد على الكتلة.
س // يستخدم البندول البسيط في تحديد الوقت ؟ لان زمنه الدوري يعتمد فقط على طول البندول وعلى التعجيل الأرضي . كما يستخدم كأداة لقياس عجلة الجاذبية الأرضية , وهذه القياسات مهمة جدا لرصد التغيرات في التعجيل الأرضي في مناطق مختلفة على سطح الكرة الأرضية وربما تساعد هذه القياسات في التنقيب عن النفط في بعض الأحيان.

مثال// اقترح العالم هايكنز وحدة للطول تعتمد على فكرة البندول البسيط وهي طول البندول الذي زمنه الدوري 1sec .فكم يبلغ طول هذه الوحدة بالنسبة للمتر ؟
T=2??(L/g) ?L=(T^2 g)/?4??^2 =((1)^2 9.8)/?4??^2 =0.248 m
وعليه سيكون المتر اقصر بقليل من طوله الحالي بمقدار ربع طوله الحالي .

H.W// ماذا لو ؟ كان العالم هايكنز في كوكب آخر غير الأرض عندما قدم هذه الفكرة لوحدة الطول .فكم تبلغ قيمة الجاذبية لهذا الكوكب ؟
النابض الحلزوني
إذا ثبت جسم كتلته m بنابض فانه يتدلى متوازنا مع النابض الذي يكون قد تمدد بمقدار ?l بحيث يكون القوة متجهة نحو الأعلى والتي لا تؤثر على النابض مساوية لثقل الجسم mg حيث k ثابت النابض k ?L = mg
لنفرض أن الجسم سحب نحو الأسفل مسافة y من وضع التوازن الذي كان عليه ثم ترك ليتذبذب فان محصلة القوة F المؤثرة على الجسم حسب قانون نيوتن الثاني هي :
F=ma=my ?=mg-k?L-ky
F=-ky ,my ?+ky=0 الثاني نيوتن بتطبيق
y ?+k/m y=0 ?(d^2 x)/?dt?^2 +k/m y=0
(d^2 x)/?dt?^2 +?w??^2 y=0
وهذه هي معادلة الحركة التوافقية البسيطة
Y=y? sin?(wt+?)
T=2??(m/k)


الاهتزاز الطولي لجسيم بين نابضين متماثلين

نابضين حلزونيين متماثلين تماما لهما نفس الطول L ونفس الثابت k
2- يكون الجسيم موضوعا على سطح أفقي أملس (عدم الاحتكاك)
3- طرفي النابضين الأخريين مثبتين
? F= - 2kx
ma = - 2kx
m (d^2 x)/dt^2 =-2kx ? (d^2 x)/dt^2 =-2k/m x