معادلة المائع ومعادلة الاستمرارية

معادلة المائع ومعادلة الاستمرارية
إن انخفاض المادة يتطلب إن العدد الكلي للجسيمات N ضمن الحجم V يمكن ان يتغير فقط عند وجود التيار (flux) الجسيمات التي تعبر السطح S المحيط بالحجم V. وبما ان تيار الجسيمات (flux) هو فإننا نستطيع اعتمادا على (نظرية التباعد – Divergence theorem) أن نكتب
(3-54 )?N/?t=?_V???n/?t dV=???nu ?.ds ?=-?_V??? ?.(nu ? )dV???
وبما إن هذه المعادلة محققة من اجل أي حجم V فإن الحدود التي تحت الإشارة التكامل متساوي أي :
(3-55) ?n/?t+?.(nu ? )=0
ويوجد لكل نوع من الجسيمات معادلة من هذا النوع هي معادلة الاستمرار. وعند وجود اية مصادر أو مصارف (Sources or sinks) للجسيمات ،يجب إضافتها إلى الطرف الأيمن من المعادلة (6-55) .
3-3-6 معادلة الحالة (Equation of State) :
يلزمنا معادلة أخرى للحصول على جملة معادلات لدراسة البلازما كمائع . ولهذا نستطيع استخدام معادلة الحال في الترموديناميك التي تربط بين الضغط P والكثافة n :
(3-56 ) P=C?^r
حيثC ثابت و CP/Cv=r النسبة بين السعات الحرارية ، وبالتالي نعين ?P من العلاقة :
(3-57) ?P/P=? ?n/n
وذلك من العلاقة (3-56) كما يلي ( بعد الاشتقاق )
? ?P=c??^(?-1) ? ?p=C? ?^?/? M? ?n=P? ?n/n?(? ?P)/P=? (? ?n)/n
حيث ?=Mn=Atomicmass
وفي حالة انضغاط متساوي الحرارة نحصل على
(3-58 ) ? ?P=? ?(nKT)=T? ?nK
وذلك من العلاقة (3-57) حيث r=1 حيث :

أما في حالة الضغط المكظوم (Adiabatic compression) فإن KT ستتغير وبالتالي سيكون لدينا قيمة r اكبر من واحد .
إذا كان n عدد درجات حرارية ، تعطى r بالعلاقة :
(3-59 ) r=(2+N)/N
لتحقيق معادلة الحالة علينا إهمال التدفق الحراري (Heat flow) ،أي إن الناقلية الحرارية تكون منخفضة . ومن جديد فإن هذا أكثر احتمالا في الواقع في الاتجاه العمودي على المجال المغناطيسيB ? ، أكثر منه في الاتجاه الموازي لـ B ?. ولحسن الحظ يمكن وصف معظم الظواهر الأساسية بشكل كاف باستخدام المعادلة المبسطة (3-56 ) .
3-3-7 مجموعة المعادلات الكاملة للموائع :
سوف نفرض للسهولة إن البلازما تحوي نوعين من الجسيمات : الايونات والالكترونات ، ألان إدراج أكثر من نوعين يعقد المعادلات . تعطى كثافة الشحنة والتيار بالمعادلتين :
?=n_i q_i+n_e q_e
(3-60 ) j ?=n_i q_i (v_e ) ?+n_e q_e (v_e ) ?
وبما إننا لن ندرس حركة الجسيمات المنفصلة في هذه الحالة نستطيع استخدام v ? بدلا منu ? لسرعة المائع . سوف نهمل التصادم واللزوجة . وبالتالي تصبح المعادلات من (3-1) إلى (3-4 ) و(3-47) و (3-55) و(3-56 ) بالشكل التالي
( في نظامcgs) ( في نظام mks)
(3-61) ? ?.E ?=4?(n_i q_i+n_e q_e )
(3-62) ? ?×E ?=-1/c (?B ?)/?t
(3-63) ? ?.B ?=0
(3-64)
? ?×B ?=4?/c (n_i q_i (v_e ) ?+n_e q_e (v_e ) ? )+1/c (?B ?)/?t
r_0^(-1) ? ?×B ?=n_i q_i (v_e ) ?+n_e q_e (v_e ) ?+?_0 (?B ?)/?t
(3-65)
m_x n_? [(?(v_x ) ?)/?t+((v_x ) ?.? ? ) (v_x ) ? ]=q_x n_? (E ?+1/c (v_x ) ?×B ? )-? ?P
?=i,e m_x n_? [(?(v_x ) ?)/?t+((v_x ) ?.? ? ) (v_x ) ? ]=q_x n_? (E ?+1/c (v_x ) ?×B ? )-? ?P_i
?=i,e
(المعادلة الاساسية في الهيدروديناميك – معادلة اولر)
(3-66 ) (?n_?)/?t+? ?(n_? (v_? ) ? )=0;?=i,e
(?n_?)/?t+? ?(n_? (v_? ) ? )=0;?=i,e
معادلة الاستمرار

(3-67) معادلة الحالة
p_?=C_? (m_? n_? ) وتكتب من اجل نوع معين
?=i,e باعتبار m_?^? C_?=C_?=const بالشكل P_?=C_? n_?^(??)

معادلة الحالة
p_?=C_? (m_? n_? ) وتكتب من اجل نوع معين
?=i,e باعتبار m_?^? C_?=C_?=const بالشكل P_?=C_? n_?^(??)


إن عدد المتغيرات في المعادلات السابقة هو 16 وهي : E ? و B ? و (v_E ) ? و (v_i ) ? و?_e و ?_i و n_e و n_i بينما نستطيع كتابة 18معادلة جبرية من هذه المعادلات اي ان هناك معادلتين مرتبطتبن(برهن ذلك )!