المجال الكهربائي الغير منتظم

المجال E ? غير المنتظم :
لنفرض ألان المجال المغناطيسي منتظم ، والكهربائي غير منتظم . للسهولة سوف نفرض ان E ? موجه وفق المحور ? ? وهو متغير بشكل جيبي (Sinusoidally) وفق المحور y ?( شكل (2 – 8))



شكل (2-8 ) انجراف مدار الجسيم في مجال كهربائي غير منتظم
(2- 31) E ?=E_0 (cos??Ky)? ? ?
هذا التوزع للمجال له طول موجة ?=2?/K وهو التوزع الجيبي للشحنات التي يجب تعيينها الان . عمليا هذا التوزيع ينشا في البلازما أثناء الحركة الموجية . معادلة الحركة هي :
(2 – 32) m (dv ?)/dt=q[E ?(y)+1/c v ?×B ? ](cgs)
والتي لها المركبات المتعامدة التالية :
(2- 33) v_x^?=qB/mc v_y+q/m E_x (y);E^?=i?E_x(cgs)
v_x^?=qB/mc v_x
(2- 34) v_x^?=qB/mc v_x±?_c (E_x^?)/B c=-?_c^2 (v_x?i ?/?_c (E_x^(() ??))/B c)
(2- 35) v_y^(??)=?_c^2 v_y-?_c^2 (E_x (y))/B c=?_c^2 (v_y+(E_x^() ? )/B c)(cgs)
هنا (y) E المجال الكهربائي في النقطة التي توجد فيها الجزيئة ، الذي نسعى لمعرفته بالدرجة الأولى . إذا كان المجال الكهربائي ضعيفا ، يمكن أن نستخدم تقريب المدار غير القلق وذلك بغية معرفة (y)Ex يعطي مدار الجزيئة في غياب المجال Eوكما يلي :
(2-(36 y=y_0±r_L cos?_c t
من المعادلتين (2- 35) و (2 – 31) لدينا :
(2- 36) v_y^(??)=-?_c^2 v_y-?_c^2 e E_0/B cos?K(y_0±r_L cos?_c t)
نحن نبحث عن حل على شكل مجموع التدوير ( التدويم ) عند ?_c وانجراف ثابت
VE(steady drift) بما إن إيجاد عبارة لـ VE هو الذي يهمنا سنهمل الحركة الدوامية وذلك بأخذ القيمة الوسطى لدورة واحدة . المعادلة (2 – 34) تعطي عندئذ v ?_x=0 . من الواضح أن للحد المهتز v_y^(??) في المعادلة (2- 36) قيمة وسطى هي الصفر وبالتالي :
(2- 37) (v_y^(??) ) ?=0=-?_c^2 v ?_y-?_c^2 c E_0/B (cosk(y_0±?L cos?_c t)) ?
بنشر تابع الجيب (cosine) نجد :
(2-38) cos?(y_0±r_L cos?_c t)=cos?(ky_0 ) (coskr_L cos?_c t)±sin?(ky_0)(sinkr_L cos?_c t)
تكفي دراسة حالة نصف قطر لارمور ، عندما kr_L<<1 . متسلسة تايلور:
cos?=1-?^2/2+?
(2-39)
sin?=?+?
يمكن أن نكتب :
cosk(y_0±r_L cos?_c t)?cos(ky_0)[1-1/2 k^2 r_L^2 ?cos?^2 ?_c t]?±sin?(ky_0 )kr_L cost
الحد الاخير ينعدم بأخذ القيمة الوسطى للزمن ، والمعادلة (2 – 37) تعطي :


(cgs) v ?_y=-c E_0/B cos?(ky_0)(1-1/4 k^2 r_L^2 )
(2- 40)
=-c (E_x (y_0))/B (1-1/4 k^2 r_L^2 )
وفي هذه الحالة يعدل الانجراف العادي E ?×B ? يعدل بتأثير عدم التجانس الى الشكل :
(2 – 60) (v_E ) ?=c (E ?×B ?)/B^2 (1-1/4 k^2 r_L^2 )
يمكن إيجاد السبب الفيزيائي لذلك بسهولة .
أن ايونا واقعا مع مركزه التوجيهي عند القيمة العظمى لـ E ? يقوم بعمل جيد اثناء وجوده في منطقة يكون فيها المجال E ? ضعيفا . وتكون سرعة انجرافه الوسطى اصغر من c E/B والمقاسة عند مركز التوجيه . وفي حالة تغير E ? بشكل خطي ، يكون الايون واقعا في مجال اقوى في احدى جهتي المدار ، ويكون واقعا في مجال اضعف بنفس القدر على الجهة الأخرى من المدار،وبالتالي يزول تأثيرv_E. ويتضح من هنا أن احد التصحيح يعتمد على المشتق الثاني لـ E ? . ونعتبر المشتق الثاني في حالة التوزيع الجيبي (sinusoidal Distribution) سالبا بنسبة لـE ? . وعند التغير الكيفي لـ E ? ، نقوم فقط بتبديل ik بـ ? ونكتب المعادلة (2- 41) بشكل :
(2- 42) (cgs) (v_E ) ?=c(1-1/4 r_L^2 ?^2 ) (E ?×B ?)/B^2
يدعى الحد الثاني تأثير نصف قطر لارمور المحدود . الآن ما هو معنى هذا التعديل ؟ بما أن r_L للايونات اكبر بكثير منها للالكترونات ، فإن (v_E ) ? لم تعد مستقلة عن نوع الجزيئات . إذا نشا في البلازما تكوم للشحنات ، فإن المجال الكهربائي يمكن ان يقود الالكترونات والايونات الى الانفصال مشكلة مجال كهربائي اخر . إذا نشأت الية ما للصلة المعاكسة ، تجعل المجال الكهربائي الثاني يقوي المجال الاول ، فإنE ? سوف تزداد بلا حدود وتكن البلازما غير مستقرة ،ويدعي عدم الاستقرار هذا بعدم الاستقرار ألانجرافي ، وسوف ندرسه في وقت لاحق .
إن انجراف المجال المغناطيسي (Grad B-Drift) هو بالطبع يتعلق بنصف قطر لارمور المحدود،ويصبح أيضا سببا في انفصال الشحنات . ولكن وفقا للمعادلة (8-2) ، (v_?B ) ? متناسب مع krL بينما نلاحظ إن التعديل ( سرعة الانجراف ) المبين في المعادلة (41-2) يتناسب مع k^2 r_L^2 وبالتالي فان تأثير المجال غير المنتظم E ? مهم بوجود k كبير نسبيا أو بوجود عدم تجانس ضعيف . لهذا السبب فان اللاإستقرارت الانجرافية (drift instability) تنتج بشكل اعم مما يسمى اللاإستقرارت الدقيقة (micro instability) .
2-4 المجال E ? متغير بالنسبة للزمن :
لنفرض الآن آن المجالين E ? و B ? منتظمين في الفراغ ولكنهما متغيرين بالنسبة للزمن . لندرس أولا حالة عندما E ? يتغير لوحده جيبيا مع الزمن ومنطبق مع المحور x:
(2 – 43) E ?=E0e^i?t.x ?
بما أن E_x^?=i?E_x يمكن كتابة المعادلة (34-2) بالشكل :
(2- 44) v_x^(??)=?_c^2 (v_x?i?/?_c (E_x ) ?/B c)
بفرض

(2-45 )(cgs) (v_p ) ?=±i?/?_c (E_x ) ?/B c
حيث وضعنا الخط ? نشير الى ان الانجراف مضطرب . إشارة ± كلعادة تشير الى الشحنة q. الآن المعادلتين (34-2) و (35-2) تصبحان :
v_x^(??)=-?_c^2 (v_x-v_p^() ? )(cgs)
(2- 46) v_y^(??)=-?_c^2 (v_y-v_E^() ? )(cgs)
ومن المعادلة
(2- 47) ?_x=?_? e^iwct

ومن المعادلة (2 – 47) نفرض حلا على شكل مجموع حركة انجرافية وحركة دوامية :
v_x=v_? e^(i?_c )+v_p^~
(2-48 ) e^(i?_c )+v_E^~ v_y=±v_?
بمفاضلة هاتين العلاقتين مرتين بالنسبة للزمن نجد :
v_x^(??)=-?_c^2 v_? e^(i?_c t)-?_c^2 v_p^~?-?_c^2 v_y+(?_c^2-?^2 ) v_p^~
(2-49) v_x^(??)=??_c^2 v_? e^(i?_c t)-?_c^2 v_E^~?-?_c^2 v_y+(?_c^2-?^2 ) v_E^~
إذا كان ?_c^2<إذا افترضنا ان E ? يتغير ببطء ، وبالتالي ?_c^2<يلاحظ من المعادلة (2 – 48) أن لحركة مركز التوجيه مركبتين :
الأولى : عمودية على B ? و E ? وهي الحركة الانجرافية العادية E ?×B ?drif
باستثناء أنه الآن v_E تهتز ببطء بتواتر ? .
الثانية : انجراف جديد وفق اتجاه المجال E ? ، يدعى انجراف الاستقطاب .
بتبديل i?بـ?/?t يمكننا ان نعمم المعادلة (2-45 ) ونحدد جر الاستقطاب بالشكل التالي :
(2-50 ) v ?_p=±c/(?_c B) (dE ?)/dt (cgs )
بما إن v ?_p باتجاه معاكس للالكترونات والايونات ينشا تيار استقطاب :
من اجل Z=1 قيمته :
(2-51 )j ?_p=ne(v ?_ip-v ?_ep )=(enc^2)/(eB^2 ) (m+M) (dE ?)/dt=(pc^2)/B^2 (dE ?)/dt (cgs)
حيث? كثافة الكتلة .
إن السبب الفيزيائي في نشوء تيار الاستقطاب بسيط ( شكل (2-9 ) ).


الشكل (2-9 ) انجراف الاستقطاب
لنأخذ ايونا ما غير متحرك في المجال المغناطيسي . إذا ظهر مجال كهربائي E ? فجاة ، فان هذا المجال اول مايقود الايون لان يتحرك باتجاهه ( باتجاه E ? ) . ولكن مع بلوغه سرعة معينة v ? ، فانه يخضع لقوة مغناطيسية e/c v ?×B ? فيبدا بعدها بالحركة نحو الاسفل (شكل(9-2)) إذا بقي المجال E ? ثابتا فان السرعة الانجرافية الاستقطابية v ?_p تزول وتبقى السرعة الانجرافية v ?_E. اما اذا انعكس المجال E ? فانه ينشا من جديد انجراف لحظي ، وهو هذه المرة نحو اليسار . وبالتالي v ?_p هي انجراف القصور الذاتي ( العاطلة) ويحدث في نصف الدور الأول لكل دورة دوامية ، وذلك في الوقت الذي يتغير فيه المجال E ?. ولهذا السبب تؤول v ?_p الى الصفر بنقصان ?/?_c .
إن مؤثر الاستقطاب في البلازما يشابه الاستقطاب في العوازل الصلبة حيث D ?=E ?+4?p ?. في الجملة (cgs) . و D ?=?_0 E ?+p ? (mks)
إن ثنائية الأقطاب في البلازما هي الالكترونات والأيونات بينهما مسافة بعد r_L ولكن بما ان الالكترونات والأيونات يمكنها التحرك لتحافظ على شبه الاعتدال في البلازما ، فإن المجال الكهربائي E الثابت ليس نتيجة للاستقطاب P . أما إذا كان المجال E ? مهتزا فإنه ينشا تيار مهتز j ?_p يختلف بالطور عن E ? وهذا ناتج عن القصور الذاتي للايونات .