المرايا المغناطيسية

1المرايا المغناطيسية ?|B|?B ?:
لندرس مجالا مغناطيسيا موجه بشكل أساسي وفق المحور z. بفرض أن هذا المجال متناظر حول B_?=0 و ?/??=0، بما ان خطوط المجال B ? تتجمع وتتفرق ، من الضروري ان تكون لدينا مركبة B_r(شكل (2-5)) ولنبين ان هذا يؤدي الى نشوء القوة التي يمكنها وضع جزيئه ما في مجال مغناطيسي .

شكل (2-5) انجراف جزيئه ما في مجال مرآة مغناطيسية
يمكننا حساب قيمة B_r من ? ?.B ?=0
(2-15) 1/r ?/?r (rB_r )+(?B_z)/?_z =0
حيث ((? ?.B ? )=1/r ?/?r (rB_r )+1/r (?B_?)/??+(?B_z)/?_z )
إذا كانت قيمة (?B_z)/?_z معطاة في حالة r=0 ولا تتغير بتغير r يكون لدينا بشكل تقريبي:
1/r ?/?r (rB_r )=-(?B_z)/?_z
?/?r (rB_r )-r (?B_z)/?_z
?rB?_r=?_0^r??r (?B_z)/?_z dr=-1/2 r^2 [(?B_z)/?_z ]_(r=0) ?
(2-16) B_r=-1/2 r[(?B_z)/?_z ]_(r=0)
أن تغير|B ? | حول مركز توجيه بتغير r يسبب انجراف الأنحدار (DriftB ?-Grad) لمركز التوجيه حول محور التناظر ولكن لا يحصل انجراف تدرج متجهي لأن ?B/?0=0 .
إن مركبات القوة المغناطيسية هي :
F_r=q/c (v_? B_z-v_z B_? ) F ?=q/c v ?×B ?
(2-17) (1)
F_?=q/c(-v_r B_z+v_z B_r ) |?(v_r&v_?&v_z@B_r&B_?&B_z )| ?(v_r@B_r )
(3)(2)
F_?=q/c(v_r B_?-v_? B_r)
(4)
الحدين المشطوبين مساويين للصفر عندما B_?=0 ، والحدين (1) و (2) يعطيان دوران لامور العادي (يعطيان حركة في مستوي متعامد مع B_z) . الحد (3) ينعدم فوق المحور ؛ اما عندما لا ينعدم فإن القوة السمتية تسبب حركة انجراف باتجاه نصف القطر ، وحركة الانجراف هذه تؤدي ببساطة الى جعل مراكز التوجيه (guiding centers ) تتبع خطوة القوة . الحد (4) هو الحد الذي يهمنا . باستخدام المعادلة (16-2) نحصل على :
(2-18 )F_z=1/2 qv_? r((?B_z)/?z);(cgs) F_z=1/2 q/c v_? r((?B_z)/?z)(mks)
يجب اخذ القيمة الوسطى لهذه القوة من اجل دورة كاملة . للسهولة نأخذ الجزيئات التي مركز توجيهها يقع على المحور . عندئذ تصبح .v_?=const خلالدورة كاملة وبالاعتماد على ان اشارة q ،v_? هي ±v_?( دوران متوازن حول المحيط ) وبما ان r=rLفان القيمة الوسطى للقوة Fz هي :
F ?_z=±1/2 qv_? r_L (?B_z)/?z=?1/2 q (v_?^2)/?_c (?B_z)/?z=1/2 (mv_?^2)/B (?B_z)/?z(mKs)
(2-19 )F ?_z=±1/2 qv_? r_L (?B_z)/?z=?1/2 q/c (v_?^2)/?_c (?B_z)/?z=1/2 (mv_?^2)/B (?B_z)/?z(cgs)
سوف ندعو المقدار التالي العزم المغناطيسي لدوران الجسيمة :
(2-20 ) ?=1/2 mv_?^2 |B?
وبالتالي :
(2-21 ) F ?_z=-? ?B/?z
وهذه الحالة مميزة لقوة مؤثرة على جزيئه دايامغناطيسية والتي يمكن كتابتها بشكل عام كما يلي :
(2-22 ) F ?_z=-? ?B/(?s ? )=-?? ?_? B
حيث s ?d عنصر خطي موجه وفق المجال المغناطيسي B ? . سوف نشير الى ان التعريف (2-20 هت)هو نفسه تعريف العزم المغناطيسي لحلقة تيار مساحتهاA وشدة التيار المار فيها I :
?=1/c IS (?=IA)
في حالة ايون مشحون ومنفرد ، يتولد I من الشحنة ? التي تدور ?_c/2? دورة في الثانية :
I=(e?_c)?2? ، المساحة A هي ?r_L^2=? (v_?^2)/(?_c^2 ) وعندئذ :
? =? (v_?^2)/(?_c^2 ).(e?_c)/2?=1/2 (v_(??)^2)/?_c =1/2 (mv_?^2)/B
عندما تتحرك الجريئة في المناطق يكون فيها المجال المغناطيسي اقوي أو اضعف ، فان نصف قطر لارمور لهذه الجريئة يتغير ، ولكن ? يبقى ثابتا . لإثبات ذلك ، سندرس مركبة معادلة الحركة وفق الاتجاه B ? :
(2-23 ) m (dv_?)/dt=-? ?B/?s
نضرب بـ v_? من اليسار ، ومن اليمين بمساويتها ds/dt نحصل على :
(2-24 ) mv_?=(dv_?)/dt=d/dt (1/2 mv_?^2 )=-? ?B/?s ds/dt=-? dB/dt
هنا dB/dt هو تغير B كما يظهر من الجزيئة ، B ? بحد ذاته ثابت مع الزمن . طاقة الجزيئة تبقى محفوظه وبالتالي :
(1/2 mv_?^2+1/2 mv_?^2 )=d/dt (1/2 mv_?^2+?B)=0 ( 25 -2 )
بأستخدام المعادلة (2-24) نحصل على :
-? dB/dt+d/dt (?B)=0
-? dB/dt+? dB/dt+B d?/dt=0
وبالتالي :
(2-26 ) d?/dt=0?=(1/2 mv_?^2 )|B?
إن عدم تغير ? هو الفكرة الاساسية في حصر البلازما:
المرآة المغناطيسية . عندما تتحرك جزيئه ما بفضل حركتها الحرارية من منطقة ذات مجال ضعيف إلى منطقة ذات مجال أقوى ، تتزايد سرعتها v_? بتزايد B لكي يبقى ? ثابتا.
وبما إن الطاقة الكلية للجزيئة يجب إن تبقى ثابتة فإن v_? يجب ان تتناقض . إذا كان المجال B ? كبير بشكل كافي في عنق المراة ، فإن v_? يمكن ان تصبح مساوية للصفر وبالتالي ترتد الجزيئة بشكل معاكس نحو المجال الاضعف . بالطبع هذا الارتداد ناتج عن قوة F ?_?. إن المجال غير المنتظم لثنائية وشائع يكون مرآتين مغناطيسيتين ، يمكن للبلازما بينها ان تكون محصورة . وهذا ساري المفعول على الالكترونات والايونات ، وهذا لا حصر يكون مثاليا .(الشكل (2-6)) .



شكل (2-6)- تخزين (حصر) البلازما بين مرآتين مغناطيسيتين
مثلا : إن جزيئه ما معطاة ذو سرعة v_?=0 لن يكون لها عزم مغناطيسي ولن تتأثر بأي قوة وفق أتجاه B ?. أما جزيئه ذو سرعة v_(???v_? ) صغيرة . في مستوي التناظر(B=B0) سوف تفلت أيضا إذا لم يكن المجال الاعظميBm كبيرا بشكل كاف .
إذا من اجل مجالين معطيينB0 وBm أي الجزيئات ستفلت ؟
إن جزيئه ما ذات سرعة v_?=v_(?0) وv_?=v_(?0) في مستوي التناظر سوف يكون لها سرعة v_?=v_? وv_?=0في نقطة الانعكاس ، ليكن المجال هناك B^?، في هذه الحالة عدم تغير ? يعطي :
(2-27) 1/2 (mv_(?0)^2)/B_0 =1/2 (mv_?^2)/B
إن إنحفاظ الطاقة يتطلب :
(2-28 ) v_?^(?2)=v_(?0)^2+v_(?0)^2=v_0^2
بدمج (2-27) و (2-28) نجد :
(2-29 ) B_0/B=(v_(?0)^2)/(v_?^(?2) )=(v_(?0)^2)/(v_0^2 )=?sin?^2 0(?=(v ?,B_0 ) )
حيث ? هي الزاوية بين v ? و B ?في منطقة المجال الضعيف إذا كانت ? صغيرة جدا وبالتالي B^? يفوق Bm في (2-29) ، نجد أن اصغر زاوية لحصر الجزيئة هي :
(2-30 ) ?sin?^2 ?_min=B_0/B_m =1/R_m
حيث Rm نسبة المرآة ( نسبة الانعكاس ). تحدد المعادلة (2- 30) حدود منطقة من الفضاء للسرعات تشبه المخروط ، تدعى مخروط الضياع ( شكل (7-2)) .

شكل (2-7)- مخروط الفقدان (الخسارة)
إن الجزيئات الواقعة داخل المخروط لا تختزن وبالتالي فان البلازما المحصورة بمرآة مغناطيسية لايمكن أن تكون متساوية الاتجاه (Isotropic) . من الجدير بالذكر إن هذا المخروط لا يتعلق لا بــ q ولا بــ m . إن الالكترونات والايونات تختزن جيدا بنسبة واحدة في حال عدم وجود صدمات . أما عندما توجد صدمات ، فان الجزيئات التي زاويتها بنتيجة الصدمات وتقع داخل المخروط تكون مفقودة . بشكل عام تكون الالكترونات أسهل إفلاتا لأنها تملك تواتر صدمات اكبر .
إن أول من درس المرآة المغناطيسية هو إنريكوفرمي (Enrico Fermi) كآلية لتسريع الأشعة الكونية . حيث أن البروتونات تكتسب طاقة كل مرة عند ارتدادها بين مرآتين مغناطيسيتين عندما تتحركان نحو بعضهما بسرعة كبيرة . كيف تنشا مثل هذه المرايا ؟، هذا سؤال آخر ! كمثال آخر يمكن أن نأخذ قرص فان الن (Van Allen belts) ، حيث أن المجال المغناطيسي الأرضي يكون قويا عند القطبين وضعيفا عند خط الاستواء ، وهو يشكل مرآة مغناطيسية ذو Rm كبيرة بشكل كاف أنظر الشكل(2-8)

الشكل (2-8 ) حركة جسيمة مشحونة في المجال المغناطيسي الأرضي