معادلات المجال المغناطيسي

معادلات  المجال المغناطيسي
(Equations of Magnetic Field)

ان الوصف الرياضي للعلاقة بين كثافة الفيض المغناطيسي   وكثافة التيار الكهربائي   يعطى بدلالة معادلات ماكسويل (Maxwell’s equations). وفي حالة المجال المغناطيسي المستقر تختزل هذه المعادلات الى:
  ------------------------------------- (2-2)
  ------------------------------------ (3-2)
حيث ان كثافة التيار   تحقق معادلة الاستمرارية (continuity equation) أي ان :
  ------------------------------------ (4-2)
حيث يمثل   شدة المجال المغناطيسي وهو دالة لكثافة الفيض المغناطيسي  B، أي ان:
  ------------------------------------------ (5-2)
وللأوساط المتماثلة الخواص (isotropic) تصبح المعادلة (2-5):
  ----------------------------------------- (6-2)
حيث   تمثل الممانعة المغناطيسية (magnetic reluctance)  و تمثل النفاذية المغناطيسية (magnetic permeability) للمادة. و  . وفي حالة المواد غير المشبعة مغناطيسيا تكون ? و ? ثوابت.
ويمكن الحصول على المجال المغناطيسي من الجهد المغناطيسي الاتجاهي   وكما يأتي:
  --------------------------------------- (7-2)
  ----------------------------------- (8-2)
  ------------------------------ (9-2)
وبتبسيط المعادلة (2-9) يمكن الحصول على معادلة بوازون (Possion’s equation) الاتجاهية للمادة غير المشبعة مغناطيسيا:
  -------------------------------------- (10-2)
وبما ان   هو متجه غير دوار فانه يعطى بدلالة الجهد المغناطيسي العددي V وكما يأتي:
 ---------------------------------------------  (11-2)
وبما ان   وبتعويض المعادلة (2-6) في المعادلة (2-2) يمكن الحصول على معادلة لابلاس  (Laplace equation):
  ----------------------------------------- (12-2)
   وفي حالة المجال المتناظر محوريا يمكن كتابة معادلة لابلاس بالشكل الاتي (Skollermo, 1976) :
  -------------------------------- (13-2)
ويعبر عن حل هذه المعادلة بشكل متسلسلة قوى  (Adriaans et al., 1989):
  r ? 0 ---------------- (14-2)
        حيث ان   يمثل توزيع الجهد المغناطيسي العددي على امتداد محور العدسة z. ومن هذه العلاقة نجد ان الجهد المغناطيسي العددي في المنطقة (r,z) المراد تحليلها يمكن حسابه من معرفة توزيعه المحوري فقط. وبالاستعانة بالمعادلة (2-14) يمكن التعبير عن مركبتي المجال المغناطيسي بشكل متسلسلة قوى وكما يأتي :
  ----------------------- (15-2)
  ------------ (16-2)
حيث ان Bz=B(0,z) يمثل توزيع كثافة الفيض المغناطيسي المحوري.
          ان جميع العلاقات السابقة تصح فقط عندما تكون المنطقة تحت الدراسة خالية من التيارات، على الرغم من ان الحزمة الالكترونية تمثل جريان تيار، ولكن المجال المغناطيسي المتولد عنه ضعيف جدا بحيث يمكن اهماله.