الكورس الثاني -محاضرة 7

التفاضل والتكامل العددي
الاشتقاق العددي عندما تكون النقاط غير متساوية الأبعاد
أولاً: صيغة لاكرانج
إذا كانت لدينا الدالة fوالتي نفترض أنها مستمرة وقابلة للاشتقاق في الفترة [a, b] وهي تمر ب n+1 من النقاط x0, x1, …, xn الموجودة في الفترة السابقة. يمكن إيجاد تقريب جيدلمشتقة الدالة f باستخدام متعددة حدود لاكرانج التي تمر بهذه النقاط
P_n (x)=?_(j=0)^n??f(x_j)? ?_?(i=0@i?j)^n?(x-x_i)/(x_j-x_i )
مثال:جد القيمة التقريبية ل f (0.12) باستخدام النقاط المبينة في الجدول التالي:
0.26 0.20 0.10 0.05 x
0.2571 0.1987 0.0999 0.05 f(x)

الحل:
f(x)?P_3 (x)=0.05 (x-0.10)(x-0.20)(x-0.26)/(0.05-0.10)(0.05-0.20)(0.05-0.26)
+ 0.0999 (x-0.05)(x-0.20)(x-0.26)/(0.10-0.05)(0.10-0.20)(0.10-0.26)
+0.1987 (x-0.05)(x-0.10)(x-0.26)/(0.20-0.05)(0.20-0.10)(0.20-0.26)
+0.2571 (x-0.05)(x-0.10)(x-0.20)/(0.26-0.05)(0.26-0.10)(0.26-0.20)

f(x)=-0.119x^3-0.025x^2+1.004x
f^ (x)=-0.357x^2-0.05x+1.004
f^ (0.12)?0.993

ثانياً: الفروقات النسبية
نعيد المثال السابق باستخدام صيغة نيوتن للفروقات النسبية:
f(x)=y_0+(x-x_0 )?y_0+(x-x_0 )(x-x_1 ) ?^2 y_0+(x-x_0 )(x-x_1 ) ?(x-x_2)??^3 y_0+?
نكون أولاً جدول الفروقات:
?3 y ?2 y ? y y x
0.05 0.05
0.9980
-0.0667 0.0999 0.10
-0.12 0.9880
-0.0919 0.1987 0.20
0.9733
0.2571 0.26

الفرق الأول: