الكورس الاول - محاضرة 7

طريقة نيوتن – رافسون: NEWTON – RAPHSON METHOD
عندما تكون مشتقة الدالة f بسيطة ومن السهل إيجادها فإن الجذور الحقيقية للمعادلة f(x)=0 يمكن إيجادها بدقة عالية باستخدام طريقة نيوتن – رافسون. إن الفكرة الأساسية لهذه الطريقة تعود إلى العالم نيوتن، ولكن الصيغة المستخدمة حالياً تعود إلى العالم رافسون. لاشتقاق الصيغة العامة للطريقة، نفرض بأن لدينا قيمة تقريبية أولية للجذر المطلوب ? ولتكن x0 ونفرض أن h تمثل مقدار التصحيح الذي يجب أن نضيفه للقيمة x0 لنحصل على الجذر المطلوب ?، أي إن:
?=x_0+h
f(x_0+h)=f(?)=0
وبتطبيق توسيع تايلر للدالة f حول x0 نحصل على:
f(x_0+h)=f(x_0 )+hf^ (x_0 )+h^2/2 f"(x_0+?h), 0طريقة أخرى لاشتقاق القانون الذي تعتمد عليه طريقة نيوتن وهي بالاعتماد على ميل المستقيم المار بالنقطة x1 حيث أن ميل المستقيم (وهو يساوي مشتقة الدالة في تلك النقطة)
slop=f^ (x_0 )=(f(x_1 )-f(x_0))/(x_1-x_0 )
نفترض أن f(x1)=0
f^ (x_0 )=(f(x_0))/(x_1-x_0 )

خوارزمية طريقة نيوتن:
نختار قيمة تخمينية ابتدائية للجذر الجديد ولتكن x0.
نحسب قيمة f(x0).
نحسب قيمة f (x0).
نحسب القيمة التقريب الجديد للجذر من المعادلة:
x_1=x_0-(f(x_0))/(f (x_0))
اطبع قيمة x1.
إذا كان |x1 - x0| x0 = x1، اذهب إلى الخطوة رقم 2.
توقف.