الكورس الاول - محاضرة 3

الأخطاء في العمليات الحسابية ERRORS IN ARITHMETIC OPERATIONS
لتكن x* قيمة تقريبية لقيمة حقيقية x. يعرف الخطأ في القيمة التقريبية كالآتي:
e_x=x-x^*
كما ويسمى في أغلب الأحيان بالخطأ المطلق (Absolute Error) لتمييزه عن الخطأ النسبي (Relative Error). يعرف الخطأ النسبي?_(* ) بحاصل قسمة الخطأ المطلق على القيمة المضبوطة، أي:
?_x=e_x/x
وفي الغالب تكون قيمة x غير معلومة لذلك تستبدل قيمة x في التعريف السابق بالقيمة التقريبية x* فنحصل على:
?_x?e_x/x^*
من الواضح بأن الاختلاف بين الخطأ المطلق والنسبي يزول عندما تكون الأعداد قريبة من 1 ويتميز أكثر كلما ابتعدت من 1.
مثال 1:
لتكن 0.0007 قيمة تقريبية للقيمة المضبوطة 0.0008 أي إن:
X*=0.0007, X=0.0008,
فإن الخطأ المطلق يساوي:
e_x=x-x^*=0.0001
وهو صغير كما نرى، بينما تكون قيمة الخطأ النسبي:
?_x=e_x/x=0.0001/0.0008=0.125
أي أن الخطأ النسبي يساوي %12.5 وهو كبير مقارنة وهو كبير مقارنة بالخطأ المطلق وهذا يحدث عادة عندما تكون قيمة x صغيرة.
مثال 2:
ليكن x*=9950، x=1000 فإن:
ex= x-x*=50
بينما يكون:
?_x=e_x/x=50/1000=0.005
أي إن الخطأ النسبي يساوي %0.5 وهو صغير مقارنة مع الخطأ المطلق.
لتكن x*، y* قيمتين تقريبيتين للعددين x، y بخطأ مطلق xe، ye وخطأ نسبي ?_y? ،?_x على التوالي، فيما يأتي نعطي تحليلاً للخطأ المطلق والنسبي في ناتج كل عملية من العمليات الحسابية الأربع بدلالة الخطأ في القيم التقريبية: