امثلة حول الزمرة

مثال:-

(A,+,.) حلقة .اثبت ذالك
ملاحظة :- إذا كانت (R,+,.) حلقة فليس شرطا أن يكون قانوني الاختصار بالنسبة للضرب متحقق.
في الحلقة (Z4,+4,.4)
2.3=2.1
ولكن
مبرهنة :- الحلقة (R,+,.) تكون خالية من القواسم الصفر إذا وفقط إذا تحقق قانوني الاختصار بالنسبة للضرب.
البرهان :- الاتجاه الأول :- الحلقة خالية من القواسم الصفر يؤدي تحقق قانوني الاختصار بالنسبة للضرب
ليكن وان

وان (R,+,.) خالية من قواسم الصفر

قانون الاختصار بالنسبة للضرب من اليسار متحقق
وبنفس يتحقق قانون الاختصار بالنسبة للضرب من اليمين
وبصورة معاكسة ليكن , وان
وقانون الاختصار من اليسار بالنسبة للضرب متحقق

الحلقة (R,+,.) خالية من قواسم الصفر
نتيجة:- لتكن (R,+,.) حلقة ذات عنصر محايد خالي من قواسم الصفر فان المعادلة لها حلان فقط هما 1,0
البرهان :- 0 هو حل وحيد للمعادلة
نفرض ,


الحلقة (R,+,.) خالية من قواسم الصفر
قانون الاختصار بالنسبة الضرب من اليسار متحقق

مبرهنة :- الحلقة (R,+,.) تكون خالية من القواسم الصفر إذا وفقط إذا تحقق قانوني الاختصار بالنسبة للضرب.
البرهان :- الاتجاه الأول :- الحلقة خالية من القواسم الصفر يؤدي تحقق قانوني الاختصار بالنسبة للضرب
ليكن وان

وان (R,+,.) خالية من قواسم الصفر

قانون الاختصار بالنسبة للضرب من اليسار متحقق
وبنفس يتحقق قانون الاختصار بالنسبة للضرب من اليمين
وبصورة معاكسة ليكن , وان
وقانون الاختصار من اليسار بالنسبة للضرب متحقق

الحلقة (R,+,.) خالية من قواسم الصفر
نتيجة:- لتكن (R,+,.) حلقة ذات عنصر محايد خالي من قواسم الصفر فان المعادلة لها حلان فقط هما 1,0
البرهان :- 0 هو حل وحيد للمعادلة
نفرض ,


الحلقة (R,+,.) خالية من قواسم الصفر
قانون الاختصار بالنسبة الضرب من اليسار متحقق