مجموعة القسمة

(Quotient set)
تعريف// لتكن علاقة تكافؤ على مجموعة غير خالية فان مجموعة جميع صفوف التكافؤ بالنسبة للعلاقة
تسمى(مجموعة القسمة).
امثلة:
مبرهنة//لتكن علاقة على مجموعة غير خالية فان علاقة تكافؤ اذا وفقط اذا وجدت مجموعة عناصرها مجموعة منفصلة بحيث
.
تعريف//علاقة الترتيب الجزئي
يقال ان R علاقة ترتيب جزئي على المجموعة A اذا وفقط اذا تحققت الشروط التالية
R انعكاسية 2- R ضد متناظرة 3-R متعدية نرمز لها بالرمز
يسمى الزوج المرتب مجموعة مرتبة جزئيا
الامثلة .
مبرهنة//اذا كانت علاقة ترتيب جزئي على فان علاقة ترتيب جزئي ايضا
تعريف// قابلين للمقارنة
لتكن مرتبة جزئيا يقال للعنصرين الذين ينتميان الى انهما قابلين للمقارنة اذا كان ا
تعريف المجموعة المرتبة كليا
لتكن مجموعة مرتبة جزئيا فيقال انها مرتبة كليا اذا كان كل عنصرين في قابلين للمقارنة
امثلة//
ملاحظة// ليست كل مجموعة مرتبة جزئيا مرتبة كليا مثال حيث ان A تحتوي على اكثر من عنصرين
تعريف// العنص الاصغر والاكبر
لتكن مجموعة مرتبة جزئيا فيقال ان العنصر اصغر عنصر في المجموعة A بالنسبة اذا كان وعنصر اكبر اذا كان
تعريف// المجموعة المرتبة ترتيبا حسنا
يقال ان المجموعة المرتبة ترتيبا جزئيا انها مرتبة ترتيبا حسنا اذا كانت كل مجموعة جزئية غير خالية منها تمتلك عنصر اصغر بالنسبة للعلاقة .
مثال//
مبرهنة//كل مجموعة مرتبة ترتيبا حسنا تكون مرتبة ترتيبا كليا.
ملاحظة//ليس شرطا ان تكون المجموعة المرتبة ترتيبا كليا مرتبة ترتيبا حسنا .

التطبيقات((الدوال))

تعريف//التطبيق من المجموعة A الى المجموعةB هو علاقة من A الى B تحقق الشرطين الاتيين


امثلة//
تسمى x اصل صورة y وتسمى y صورة x وتكتب

تعريف//Ranf المدى
اذا كان f تطبيقا من المجموعة A الى المجموعة B تسمى مجموعة صور عناصر المجموعة A بمدى التطبيق f وسوف نرمز له بالرمز
مثال// معرفة جد
مثال//
تعريف// التطبيق الشامل
ليكن f من A الى B تطبيق يقال ان f تطبيق شامل اذا كان او

مثال//
تعريف// التطبيق المتباين
ليكن f من A الى B تطبيق يقال ان f تطبيق متباين اذا وفقط اذا
حيث ان او
تعريف// التطبيق المتقابل
يقال ان التطبيق f من A الى B تطبيق متقابل اذا وفقط اذا كان شامل ومتباين
مثال//
تعريف// لتكن تبيقان فيقال انهما متساويان اذا وفقط اذا
مثال//
مبرهنة// اذا كانت تطبيق وكان تطبيق فان تطبيق
مبرهنة// اذا كانت تطبيق وكان تطبيق فان
مثال//
مبرهنة// اذا كانت تطبيق وكان تطبيق فان
اذا كان كل من متباين فان متباين
اذا كان كل من شامل فان شامل
اذا كان كل من تقابل فان تقابل
ملاحظة// اذا كان تطبيق فليس شرطا ان يكون ان يكون تطبيق كما في المثال