المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية

المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية Linear P.D.E.
* مقدمة وتعاريف عامة : تكتب المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية من الرتبة n في المتغير المعتمد u والمتغيرين المستقلين y,x في الصورة التالية:

حيث

Aij(x,y) و R(x,y) دوال في المتغيرين المستقلين y,x .
ومن هذه الصيغة نستنتج ان المعادلة التفاضلية الجزئية من الرتبة n تكون خطية اذا وفقط اذا تحقق الشرطين التاليين:
1- جميع المشتقات الجزئية في المعادلة التفاضلية الجزئية تكون من الدرجة الاولى وغير مضروبة في بعضها.
2- المتغير المعتمد u في المعادلة التفاضلية الجزئية يكون من الدرجة الاولى وغير مضروب في المشتقات الجزئية.
أمثلة :
1- xuxx+xyuy+y2u=tan x خطية من الرتبة الثانية
2- uxxx-uxyy+x2ux=siny خطية من الرتبة الثالثة
3- yuxy+(ux)2=0 لاخطية
4- uxx-uxuy+3uxy=ex+y لاخطية
5- ux+uuxy=ln (x+y) لاخطية
ملاحظات :
1- اذا كان n=1 فان
A00(x,y)u(x,y)+A01(x,y)uy+ A10(x,y)ux=R(x,y)
وهذه معادلة تفاضلية جزئية خطية من الرتبة الاولى
2- اذا كان n=2 فان
A00(x,y)u(x,y)+A01(x,y)uy+A02(x,y)uyy+A10(x,y)ux+A11(x,y)uxy+A20(x,y)uxx=R(x,y)
وهذه معادلة تفاضلية جزئية خطية من الرتبة الثانية
3- اذا كانت R(x,y)=0 فان المعادلة (1) تسمى معادلة تفاضلية جزئية متجانسة (مختزلة، متممة) واذا كان R(x,y) فان تلك المعادلة تسمى معادلة تفاضلية جزئية غير متجانسة (او تسمى كاملة).
4- اذا كانت جميع المشتقات في المعادلة (1) من الرتبة (n) أي اذا كان كل حد من حدود الطرف الايسر له نفس الرتبة n=i+j فان تلك المعادلة تسمى معادلة تفاضلية جزئية خطية ذات حدود متجانسة ( او تسمى متجانسة الحدود).
5- اذا كانت الدوال Aij(x,y) جميعها دوال ثابته لكل j,i فان المعادلة (1) تسمى معادلة تفاضلية جزئية خطية ذات معاملات ثابته واذا كان على الاقل دالة من الدوال اعلاه غير ثابتة فان تلك المعادلة تسمى معادلة تفاضلية جزئية خطية ذات معاملات متغيرة.
امثلة
1- uxx+uyy=0 (متجانسة وذات حدود متجانسة ومعاملات ثابتة)
2- ux+6xuy=0 (متجانسة وذات حدود متجانسة ومعاملات متغيرة)
3- uxx+uy=0 (متجانسة وذات حدود غير متجانسة ومعاملات ثابتة)
4- ux+xuyy=0 (متجانسة وذات حدود غير متجانسة ومعاملات متغيرة)
5- uxx+uyy+uxy=sinx (غير متجانسة وذات حدود متجانسة ومعاملات ثابتة)
6- uxx+yuyy=cosy (غير متجانسة وذات حدود متجانسة ومعاملات متغيرة)
7- uxx+uy=ex ( غير متجانسة وذات حدود غير متجانسة ومعاملات ثابتة)
8- uxx+xuy=ln x (غير متجانسة وذات حدود غير متجانسة ومعاملات متغيرة)
* المؤثر التفاضلي الجزئي Partial Differential Operator
يستخدم الرمز D في بعض المعادلات التفاضلية الجزئية ليمثل المشتقات الجزئية لدالة ما بالنسبة للمتغيرات المستقلة.
مثلاً: اذا كان المتغير المستقل x فان المشتقات الجزئية بدلالة المؤثر التفاضلي الجزئي Dx تكون بالصورة التالية:

وهذا يعني ان

كذلك بالنسبة للمتغير المستقل y فان المشتقات الجزئية بدلالة المؤثر التفاضلي الجزئيي D تكون بالصورة التالية:

وهذا يعني ان

والان نعرف DxDyu
DxDyu=Dx(Dyu)=Dx
=
ويمكن كتابة المعادلة التفاضلية الجزئية الخطية ذات المعاملات الثابتة

حيث a ثوابت لكل قيم i وj بدلالة المؤثر التفاضلي الجزئي D بالشكل التالي:

او
(Dx,Dy)u=R(x,y)
حيث
n i+j
متعددة حدود بمعاملات ثابتة حقيقية ومن الدرجة n

خواص المؤثر التفاضلي
1-
2-
3-
4-
5-
6-
7-
مثال / جد
sol.

= 8-8+2-cos(x+y)-2cos(x+y)-cos(x+y)
= 2- 4cos(x+y)
مبرهنة (1) : لتكن (Dx,Dy) متعددة حدود بمعاملات ثابتة حقيقية ومن الدرجة n فان

مثال / جد
Sol. a=1 , b=2



مبرهنة (2): لتكن متعددة حدود بمعاملات ثابتة حقيقية ومن الدرجة n فان:
1-
2-
مثال / جد
1-
a=1, b=-2

=-a2+3ab-2b2=-1-6-8=-15

2-
sol. a=1, b=-1














مبرهنة (3): لتكن v(x,y) دالة قابلة للاشتقاق متعددة حدود بمعاملات ثابتة حقيقية من الدرجة nفان:
1-
2-
3-
4-
مثال / جد

الحل : a=1,b=-1,v(x,y)=xy


=
=
=


=
=