طريقة جاربت

الحالة الخامسة : طريقة جاربت Charpit
وهي معادلة تفاضلية جزئية لاخطية من الرتبة الاولى في المتغير المعتمد z والمتغيرين المستقلين y,x في الصورة التالية:
F(x,y,z,p,q)=0
حيث p=zx و q=zy
لحل المعادلة اعلاه نفرض المعادلة التفاضلية الجزئية 0= نشتق كلا من المعادلتين بالنسبة لـ x فنحصل على

since


since

نشتق المعادلتين الاصليتين بالنسبة الى y فنحصل على


من المعادلتين (1) و (2) نحصل على ان :
-
-
وبقسمة المعادلتين الاخيرتين تكون:

وبضرب الطرفين في الوسطين
pFx+p pFz+qx pFq-Fp x-pFp z-qxFp q=0
pFx-Fp x+p( pFz-Fp z)+qx( pFq-Fp q)=0 ………. (5)


وبنفس الطريقة نحصل من كل من المعادلتين (3) و (4) على مايلي :
(Fy q- yFq)+q(Fz q- zFq)+ (Fp q-Fq p)=0 ………. (6)
وبجمع المعادلتين (5) و (6) نحصل على
Fy q+ pFx-Fp x- yFq+q(Fz q- zFq)+p( pFz-Fp z)=0
-Fp x-Fq y- z(qFq+pFp)+ p(Fx+pFz)+ q(Fy+qFz)=0 ……….(7)
وهذه المعادلة الاخيرة من صيغة لاكرانج ولكن بخمسة متغيرات x,y,z,p,q للدالة x,y,z,p,q)) وعليه تكون المعادلات التابعة لها هي:



وهي معادلات جاربت التابعة للمعادلة F(x,y,z,p,q)=0 حيث يعتبر البسط صفرا عندما يكون مقامه كذلك.
اوجد الحل العام للمعادلة التفاضلية الجزئية
Example
2zx-px2-2qxy+pq=0
sol. F(x,y,z,p,q)=0 نلاحظ ان المعادلة من الصيغة
Fx=2z-2px-2qy, Fy=-2qx, Fz=2x
Fp=-x2+q , Fq=-2xy+p


then dq=0

(a constant)
نعوض بالمعادلة الاصلية المراد حلها
2zx-px2-2axy+ap=0
2zx-2axy=px2-ap

باخذ المعادلة الاولى ونضرب الحد الاول في p والثاني في q ونجمع الحدين ثم نساويه للحد الثالث

نعوض عن قيمة p المستخرجة و q=a


بقسمة الطرفين على (ay-z)

بضرب المعادلة بـ (1-)



اوجد الحل العام للمعادلات التفاضلية الجزئية التالية: Exercises:

1- p=xzq2 2- p=q2y 3- zp2+y2(p-q)=0
الحالة السادسة : توجد بعض المعادلات التفاضلية الجزئية اللاخطية من الرتبة الاولى يمكن بتعويض مناسب تحويلها الى احدى الحالات الاربعة. ومن التحويلات المهمة هي:
1- عند ظهور الحد px او قواه في المعادلة يستخدم التحويل
2- عند ظهور الحد qy او قواه في المعادلة يستخدم التحويل
3- عند ظهور الحد او اوقواهما في المعادلة يستخدم التحويل
Examples: 1- px+qy=z
sol. X=lnx Y=lny


تحل على الصيغة



u=ln z(a+1) +ln b , c=ln b
eu=bza+1 eax+by=bza+1
elnx+alny=bza+1 xya=bza+1
Exercises:
1- q=px+p2x2
2- x4p2-yzq-z2=0