بعض الحالات الخاصة لحل معادلات تفاضلية جزئية لاخطية من الرتبة الاولى ج2

الحالة الثالثة :- المعادلة التفاضلية الخالية من المتغيرين المستقلين y,x أي المعادلة التفاضلية في الصيغة f(z,p,q)=0 .
في هذه الحالة تحول المعادلة من جزئية الى اعتيادية وذلك بان نفرض دالة هي u وبالاشتقاق الجزئي لها يتم التحويل و كما يلي :
1- نفرض u=x+ay , R a فتكون المعادلة بدلالة u هي :
Z= F(u)=F(x+ay)
p=
q=
2- نعوض عن q,p في المعادلة التفاضلية الجزئية فنحصل على معادلة تفاضلية اعتيادية من الرتبة الاولى بالمتغيرين u,F ثم نجد الحل العام لتلك المعادلة.
3- نعوض عن u=x+ay في الحل العام الناتج من الخطوة (2) فيكون الناتج هو الحل المطلوب.
f(z,p,q)=f(F, أي ان
= f(z,
Ex: (1) z=p+q التصنيف :معادلة تفاضلية جزئية من الرتبة الاولى والدرجة الاولى تظهر فيها z,q,p
sol. p= , q=a
z= + a
+a -z=0 (1+a) -z=0
تحولت الى معادلة تفاضلية اعتيادية من الرتبة الاولى والدرجة الاولى
(1+a) - du=0
(1+a) ln z –u=c
ln z =
ln z=
z= , b=ec1


(2) p2z-q2=1
التصنيف: معادلة تفاضلية جزئية لاخطية من الرتبة الاولى والدرجة الثالثة ومن الصيغة f(p,q,z)=0








3- z3=z4pq-1
معادلة تفاضلية جزئية لاخطية من الرتبة الاولة والدرجة السادسة
sol.
z4pq-z3-1=0





Exercises:-
1- p (1-z) =q(1-p2)
2- z2(p2+q2+1)=1
3-
الحالة الرابعة : المعادلة التفاضلية الجزئية الخالية من المتغير المعتمد z وقابلة للفصل. أي المعادلة التفاضلية الجزئية التي يمكن كتابتها بالصيغة f1(x,p)=f2(y,q) فان طريقة الحل لهذا النوع من المعادلات التفاضلية الجزئية تكون كالاتي:
1- نفرض f1(x,p)=f2(y,q)=a حيث a ثابت اختياري
2- نجد q,p بحل المعادلتين f1,(x,p)=a و f2(y,q)=a آنياً.
وليكن p=g1(x,a) و q=g2(y,a)
3- نعوض عن q,p في المعادلة التفاضلية الكلية


وباجراء التكامل للطرفين يكون الحل العام هو:

حيث c ثابت اختياري
Examples:1- p=2xq2معادلة تفاضلية جزئية لاخطية من الرتبة الاولى والدرجة الثانية








2- xq-y2p2-xy2=0
sol.





Exercises:
(1)
(2) x-p+q+y=0
(3) x2-px+q+y =x
(4) pq=2xy
(5) q=ln p