منظومة المعادلات الخطية

النظم الخطية Linear Systems
هنالك عدد لا باس به من المشاكل في العلوم الطبيعية و الاجتماعية مثل الهندسة والعلوم عند حلها الى معادلات تربط بين مجموعتين من المتغيرات . تدعى معادلة من الصنف y=ax حيث يكتب المتغير y بدلالة المتغير x والثابت a بمعادلة خطية . وسميت خطية لان رسم الدالة عبارة عن خط مستقيم .
كذلك فان المعادلة
( 1 ) b=a_1 x_1+a_2 x_2+?+a_n x_n ??
التي تظهر b بدلالة المتغيرات x_1,x_2,?,x_n و الثوابت a_1,a_2?,a_n تدعى
معادلة خطية . في كثير من التطبيقات نعطي قيمة b ويطلب منا ايجاد قيم x_1,x_2,?,x_n التي تحقق (1)
تسمى كل مجموعة مرتبة من n من الاعداد s1,s2,…,sn التي تحقق المعادلة (1) عندما نعوض بدلا عن x1= s1, x2 = s2, ….,xn = sn بحل للمعادلة الخطية (1)
بصورة عامة نقصد بنظام متكون منm من المعادلات الخطية التي لها n من المتغيرات بنظام خطي او منظومة خطية ويعبر عن النظام الخطي بالصورة


a11 x1+ a12 x2 +….+ a1n xn= b1
a21 x1+ a22 x2+…. +a2n xn= b2 ………(2)
? ?
am1 x1+ am2 x2+….+amn xn= bm

والمعادلة رقم i هي
ai1 x1+ ai2 x2+….+ain xn= bi

حيث أن ? a?_ij في (2) بالثوابت وأن متتابعة من n من الأعداد s1,s2,…., sn تسمى
حلا للمنظومة (2) عندما نعوض بدلا عن x1= s1, x2 = s2, ….,xn = sn


ملاحظة :- لايجاد الحل للنظام الخطي نستخدم طريقة الحذف وهي التخلص من بعض المجاهيل بواسطة اضافة مضاعفات احدى المعادلات الى معادلة اخرى . وطريقة الحذف تتالف من تكرار اداء العمليات التالية :-
- مبادلة معادلتين
2- ضرب معادلة بثابت لا يساوي صفر
3- اضافة مضاعفات احدى المعادلات الى معادلة اخرى

وبصورة عامة اية منظومة معادلات خطية اما ان يكون لها حل وحيد او عدد غير منتهي من الحلول اولا يوجد لها حل